本文主要是介绍【图形学】二维几何变换的一些理论，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
一些概念
齐次坐标是用n+1维向量表示n维向量，例如点 P ( x , y ) 的齐次化坐标为 ( w x , w y , w ) , w 为任意不为 0 的数 P(x,y)的齐次化坐标为(wx,wy,w),w为任意不为0的数 P(x,y)的齐次化坐标为(wx,wy,w),w为任意不为0的数如果w取值为1，则称为规范化的齐次坐标。
二维几何变换矩阵
由于二维点的齐次坐标是一个包含三个元素的列向量，那么二维几何变换矩阵就应该是一个3*3的方阵。
T = [ a b e c d f p q s ] T=\begin{bmatrix} a&b&e\\ c&d&f\\ p&q&s \end{bmatrix} T= acpbdqefs
从功能上可以把二维变换矩阵分成四个子矩阵
T 0 = [ a b c d ] T 1 = [ e f ] T 2 = [ p q ] T 3 = [ s ] T 0 对图形进行比例，旋转，反射和错切变换 , T 1 进行平移变化， T 2 进行投影变换 , T 3 进行整体比例变换 T_0=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} T_1=\begin{bmatrix} e\\f\end{bmatrix} T_2=\begin{bmatrix} p&q\end{bmatrix} T_3=\begin{bmatrix} s\end{bmatrix}\\ T_0对图形进行比例，旋转，反射和错切变换,T_1进行平移变化，T_2进行投影变换,T_3进行整体比例变换 T0=[acbd]T1=[ef]T2=[pq]T3=[s]T0对图形进行比例，旋转，反射和错切变换,T1进行平移变化，T2进行投影变换,T3进行整体比例变换
二维图形基本几何变换矩阵
平移变换
平移变换是图形上每一个点移动相同的坐标,假设有一点 P ( x , y ) 移动到点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x,y)移动到点P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime}) P(x,y)移动到点P′(x′,y′)
{ x ′ = x + T x y ′ = y + T y ( T x , T y 是平移系数 ) \begin{cases} x^{\prime}=x+T_x\\ y^{\prime}=y+T_y \end{cases}(T_x,T_y是平移系数) {x′=x+Txy′=y+Ty(Tx,Ty是平移系数)
设二维平移变换矩阵为T
[ x ′ y ′ 1 ] = [ x + T x y + T y 1 ] = T [ x y 1 ] 得到 T = [ 1 0 T x 0 1 T y 0 0 1 ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+T_x\\y+T_y\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}得到T=\begin{bmatrix}1&0&T_x\\0&1&T_y\\0&0&1\end{bmatrix} x′y′1 = x+Txy+Ty1 =T xy1 得到T= 100010TxTy1
比例变换
P ( x , y ) 相对于原点，沿 x 轴方向缩放 S x 倍，沿 Y 轴方向缩放 S y 倍到点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x,y)相对于原点，沿x轴方向缩放S_x倍，沿Y轴方向缩放S_y倍到点P_{\prime}(x^{\prime},y^{\prime}) P(x,y)相对于原点，沿x轴方向缩放Sx倍，沿Y轴方向缩放Sy倍到点P′(x′,y′)
设二维变换矩阵为T
[ x ′ y ′ 1 ] = [ x T x y T y 1 ] = T [ x y 1 ] 得到 T = [ T x 0 0 0 T y 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xT_x\\yT_y\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}得到T=\begin{bmatrix}T_x&0&0\\0&T_y&0\\0&0&1\end{bmatrix} x′y′1 = xTxyTy1 =T xy1 得到T= Tx000Ty0001
更一般的情况， P 相对于点 ( p x , p y ) 进行比例变换到 P ′ P相对于点(p_x,p_y)进行比例变换到P^{\prime} P相对于点(px,py)进行比例变换到P′。有 { x ′ = S x ( x − p x ) + p x y ′ = S y ( y − p y ) + p y \begin{cases} x^{\prime}=S_x(x-p_x)+p_x\\ y^{\prime}=S_y(y-p_y)+p_y \end{cases} {x′=Sx(x−px)+pxy′=Sy(y−py)+py
此时的二维变换矩阵T为 T = [ S x 0 p x ( 1 − S x ) 0 S y p y ( 1 − S y ) 0 0 1 ] \\T=\begin{bmatrix} S_x&0&p_x(1-S_x)\\ 0&S_y&p_y(1-S_y)\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= Sx000Sy0px(1−Sx)py(1−Sy)1
旋转变换
点P相对于坐标原点旋转一个角度 β \beta β得到点 P ′ P^{\prime} P′。
对点P，用极坐标可以表示成 { x = r cos α y = r sin α \begin{cases} x=r \cos\alpha\\y=r \sin\alpha \end{cases} {x=rcosαy=rsinα
旋转后点 P ′ P^{\prime} P′,用极坐标表示为 { x ′ = r cos ( α + β ) = r cos α cos β − r sin α sin β = x cos β − y sin β y ′ = r sin ( α + β ) = r sin α cos β + r cos α sin β = y cos β + x sin β \begin{cases} x^{\prime}=r\cos(\alpha+\beta)=r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta=x\cos\beta-y\sin\beta \\y^{\prime}=r\sin(\alpha+\beta)=r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta=y\cos\beta+x\sin\beta \end{cases} {x′=rcos(α+β)=rcosαcosβ−rsinαsinβ=xcosβ−ysinβy′=rsin(α+β)=rsinαcosβ+rcosαsinβ=ycosβ+xsinβ
由此可以得到二维变换矩阵T
T = [ cos β − sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} \cos\beta&-\sin\beta&0\\ \sin\beta&\cos\beta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= cosβsinβ0−sinβcosβ0001
更一般的情况，点P绕点 ( p x , p y ) (p_x,p_y) (px,py)旋转角度 β \beta β
{ x ′ = ( x − p x ) cos β − ( y − p y ) sin β + p x y ′ = ( x − p x ) sin β + ( y − p y ) cos β + p y \begin{cases} x^{\prime}=(x-p_x)\cos\beta-(y-p_y)\sin\beta+p_x\\ y^{\prime}=(x-p_x)\sin\beta+(y-p_y)\cos\beta+p_y \end{cases} {x′=(x−px)cosβ−(y−py)sinβ+pxy′=(x−px)sinβ+(y−py)cosβ+py
此时的二维变换矩阵T为
T = [ cos β − sin β p x ( 1 − cos β ) + p y sin β sin β cos β p y ( 1 − cos β ) − p x sin β 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} \cos\beta&-\sin\beta&p_x(1-\cos\beta)+p_y\sin\beta\\ \sin\beta&\cos\beta&p_y(1-\cos\beta)-p_x\sin\beta\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= cosβsinβ0−sinβcosβ0px(1−cosβ)+pysinβpy(1−cosβ)−pxsinβ1
对称变换
关于原点对称，二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= −1000−10001
关于x轴对称，二维变换矩阵T
T = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= 1000−10001
关于轴对称，二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= −100010001
关于点 ( p x , p y ) (p_x,p_y) (px,py)对称的二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 2 p x 0 − 1 2 p y 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&2p_x\\ 0&-1&2p_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= −1000−102px2py1
错切变换
错切是点P相对于x,y轴进行不等量变化的过程。
相对于原点进行错切变换
{ x ′ = x + λ x y y ′ = λ y x + y \begin{cases} x^{\prime}=x+\lambda _x y\\y^{\prime}=\lambda _yx+y \end{cases} {x′=x+λxyy′=λyx+y
二维变换矩阵T为 T = [ 1 λ x 0 λ y 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&\lambda _x&0\\ \lambda _y&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= 1λy0λx10001
相对于点 ( p x , p y ) (p_x,p_y) (px,py)进行错切变换
{ x ′ = x + λ x ( y − p x ) y ′ = λ y ( x − p y ) + y \begin{cases} x^{\prime}=x+\lambda _x (y-p_x)\\y^{\prime}=\lambda _y(x-p_y)+y \end{cases} {x′=x+λx(y−px)y′=λy(x−py)+y
二维变换矩阵T为 T = [ 1 λ x − λ x p x λ y 1 − λ y p y 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&\lambda _x&-\lambda _xp_x\\ \lambda _y&1&-\lambda _yp_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= 1λy0λx10−λxpx−λypy1
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