双曲守恒律

本文主要是介绍双曲守恒律，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

拟线性方程

$\boxed{例1}$考虑 对流方程

$$\begin{cases}u_t+au_x &=0 \ x \ \in \mathbb{R}\\u(x,0) &=u_0(x) \ t>0 \end{cases}$$
考虑特征线 $x(t)$,即 $u(x,t)$ 限制在它上面是一个常数，那么就有 $0=\frac{Du}{Dt}=u_t+\frac{dx}{dt}u_x$,自然就有
$$\begin{cases}\frac{du}{dt}&=0\\ \frac{dx}{dt}&=a \end{cases}$$
$$\begin{cases}x-at&=x_0\\u(x(t),t)&=u_0(x_0) \end{cases}$$
则 $u(x,t)=u_0(x-at)$,注意： $a>0$时，可以看出信息不断向右“传播”，或者说平移，而波形保持不变； $a<0$时，则向左传播； $x-at=x_0$ 则是某个点(比如波峰)传播的固定时空路线，所以沿着它走 $u$是一个常值。
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$\boxed{例2}$Riemann 问题
$\begin{cases} u_t+au_x&=0\ u(x,0)&=u_0(x)= \begin{cases} u_L,x<0\\ u_R,x>0 \end{cases} \end{cases}$
它有解 $u(x,t)= \begin{cases} u_L,x<at\\ u_R,x>at\end{cases}$直观上就是初始的间断不断沿着特征线传播。

$\boxed{例3}$

$$\begin{cases} u_t+au_x &=bu \\ u(x,0) &=u_0(x) \end{cases}$$ 用特征线法
$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}&=a\\ x(0)&=x_0\\ \frac{du}{dt} &=bu\\ u(0)&=u_0(x_0) \end{cases}$$
它有解 $u(x,t)=e^{bt}u_0(x-at)$
$\boxed{例4}$
$$\begin{cases} u_t+uu_x&=bu\\ u(x,0)&=u_0(x) \end{cases}$$
换成 u=u~e

这篇关于双曲守恒律的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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