MIT18.06课程笔记15：Projection Matrix投射矩阵

本文主要是介绍MIT18.06课程笔记15：Projection Matrix投射矩阵，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

1. 求取投射矩阵P

这部分主要探讨如何通过一个矩阵将任意向量投射到指定超平面。
超平面通常通过basic（基）给出，即设给出的不相关基为$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，令$A=[a_1,a_2,...,a_m]$，超平面就是$C(A)$，即A的column space（$\forall x, Ax \in C(A)$）。
投射有两个等价定义：设$b$是任意向量，$\hat{b}$是投射后的向量，则有$\hat{b}$在指定超平面内($\hat{b}\in C(A)$)，并且1. $\hat{b}$是超平面内与$b$距离最近的向量（欧式距离）($\forall b' \in C(A), (b'-b)^T(b'-b) \le (\hat{b}-b)^T(\hat{b}-b) )$,或者 2. $b-\hat{b}$与超平面垂直（$A^T(\hat{b}-b)=0$）。
求投射矩阵$P$使得$Pb = \hat{b}$。

通过上诉条件，可以得出以下公式:
1. $\hat{b} = Ax \text{ for some unknown x}$
2. $A^T(\hat{b}-b) = 0$
可得
$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$
进而
$\hat{b} = Ax = A(A^TA)^{-1}A^Tb$
$Pb = \hat{b}$
最终得到
$P = A(A^TA)^{-1}A^T$

2. 讨论投射矩阵的性质

1. $P^T = P$
2. $range(P) = range(A)$ (因为对于任意$x$，$Px$都位于$C(A)$内，即$C(P) = C(A)$）
3. $P*P = P$ （超平面上的点投射到超平面上其位置不变）
4. $Pb \in C(A)$ $\forall b$
5. $\forall b$ $(b-Pb) \in N(A^T)$ （N(A)指的是A的null space，即$\forall x\in N(A)$ $Ax = 0$）

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