MIT18.06线性代数课程笔记9：线性无关、向量拓展空间、空间的基、空间维度

本文主要是介绍MIT18.06线性代数课程笔记9：线性无关、向量拓展空间、空间的基、空间维度，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

1. 线性无关

Strang给出的定义和矩阵以及 $Ax=0$ 直接相关，如下：

$v_1,v_2,\cdots,v_l$ are dependent $\Leftrightarrow \exists c_1,c_2,\cdots,c_l$ , such that $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_lv_l=0$ , where $[c_1,c_2,\cdots,c_l]^T\neq 0$ 。Otherwise, $v_1,v_2,\cdots,v_l$ are independent

简单的说就是存在 $v_1,v_2,\cdots,v_l$ 的某种非全零系数线性组合为零向量。

这个定义和 $Ax=0$ 直接相关，即 $\exists c\neq 0,[v_1,v_2,\cdots,v_l]c=0$ ，其中 $[v_1,v_2,\cdots,v_l]$ 共同组成 $n\times l$ 维矩阵 $A$ 。所以向量线性无关等价于 $Ax=0$ 不存在非零解，即null space维度为0，即 $r(A)==l$ 。

笔者之前使用的线性相关定义如下： $v_1,v_2,\cdots,v_l$ are dependent $\Leftrightarrow \exists c_1,c_2,\cdots,c_{l-1}$ , such that $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_{l-1}v_{l-1}=v_l$ 。其中 $v_l$ 的选取是任意的，即某一向量可以表示为其他向量的线性组合，那么所有向量线性相关。否则线性无关。两个定义明显是等价的，之间只差了一个 $c_l$ 的系数。

注意零向量的特殊性，零向量可以表示为任意向量的线性组合，所以包含零向量的size大于1的向量集合都是线性相关的。

从 $r(A)==l$ 的限制还可以得到 $n\ge l$ ，以及 $A$ 存在左逆元。即 $v_1,v_2,\cdots,v_l$ are independent $\Leftrightarrow r(A)==l\Leftrightarrow \exists A^{-1}, A^{-1}A=I\Rightarrow n\ge l$ 。（关于秩的部分请参考 MIT18.06线性代数课程笔记8：求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆）

2. span of vector

这个定义非常简单，即包含该向量的最小向量空间。其实就是 $A$ 的column space。

具体地，任意空间 $S$ 满足 $v_1,v_2,\cdots,v_l\in S$ ，就有 $Ax\in S$ ，即 $C(A)\subset S$ ，其中 $A_{n\times l}=[v_1,v_2,\cdots,v_l]$ 。而由MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space可知 $C(A)$ 是向量空间，所以 $C(A)$ 即为span of vector，即span of $v_1,v_2,\cdots,v_l$ is $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_lv_l$ for all $c_1,c_2,\cdots,c_l\in R$ 。

3. 空间的基

给定向量空间 $S$ ， $S$ 的基可以有很多个。具体定义为满足span是 $S$ 的线性无关向量集合。

span是 $S$ 控制了集合大小的下界，线性无关控制了集合大小的上界。

举个例子： $I_n$ 的列向量集合即为 $R_n$ 的基。容易证明 $\forall x\in R_n,Ix=x$ ，即 $x\in C(I)$ 。同时 $r(I)==n\Rightarrow$ $I$ 的列向量之间线性无关。

因为基向量线性无关，所以其组成的矩阵 $A$ 具有所有线性无关可以导出的性质，例如 $A$ 存在左逆元。更进一步，可以推出若 $A$ 存在左逆元，那么其列向量集合是 $C(A)$ 的基。

一个空间可以有无数组基。具体地，任意左可逆方阵 $B$ ，都满足 $C(BA)==C(A)$ 。因为 $\forall x,\exists y, BAy=Ax$ ，其中 $y=A^{-1}B^{-1}Ax$ 。而左可逆方阵很容易得到，只需要 $l$ 个线性无关的 $l$ 维向量。而 $l$ 维线性无关可以有无穷多个是易证的，例如假设之前 $l-1$ 个线性无关向量是 $v_1,v_2,\cdots,v_{l-1}$ ，那么最后一个 $l$ 维线性无关向量可以为任意向量满足 $v\in R_l-C([v_1,v_2,\cdots,v_{l-1}])$ 。

4. 空间维度

空间的基的个数即为空间维度。如上所述，一个空间的基可以有很多组，而空间维度是个固定的整数。这是因为一个空间的所有基都具有相同的向量数。证明如下：

回顾基的定义：满足span是 $S$ 的线性无关向量集合。其中span是 $S$ 限制了集合大小的下界，而线性无关则限制了集合大小的上界。具体地，假设 $S=C(A_{n\times m})$ ，where $r(A)==m$ 。那么 $S$ 的维度即为 $m$ 。

假设存在数量小于 $m$ 的向量集合 $B_{n\times k},k<m$ 满足span是 $S$ 。则有 $\exists C, B=AC$ , since $B\in C(A)$ 。并且有 $\forall x,\exists y, By=Ax(\text{since $C(B)=C(A)$})\Rightarrow ACy=Ax\Rightarrow Cy=x (\text{since $A$ is invertible})$ ，而 $C_{m\times k}$ 有 $r(C)\le k<m$ ，所以不能满足对任意 $x$ 都有解，即 $C(C)\neq R^m$ 。综上假设不成立，即不存在数量小于 $m$ 的向量集合满足span是 $S$ 。

假设存在数量大于 $m$ 的线性无关向量集合 $B_{n\times k},k>m$ 满足 $\forall b_i, \exists c_i, b_i=Ac_i$ （即 $b_i\in C(A)$ ），且 $\nexists d\neq 0, Bd=0$ 。由上诉条件可以推出 $\nexists d\neq 0, ACd=0$ ，其中 $C$ 是 $m\times k$ 的矩阵，且 $m<k$ 。因为 $r(C)\le m<k$ ，所以 $\exists d\neq 0, Cd=0\Rightarrow \exists d\neq 0, ACd=0$ 。推出矛盾，综上假设不成立，即不存在数量大于 $m$ 的位于 $C(A)$ 内部线性无关的向量集合。