考研数学线上笔记（六）：凯哥微分方程、多元微分、无穷级数概念选择题系列课程

2023-12-06 08:30
文章标签 线上 笔记 概念 系列 考研 数学 微分方程 课程 选择题 无穷 凯哥 级数 多元 微分

本文主要是介绍考研数学线上笔记（六）：凯哥微分方程、多元微分、无穷级数概念选择题系列课程，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

  • 微分方程
    • 一阶线性微分方程
      • 一阶微分方程可以用“齐次通解+非齐次特解”；非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解
      • 任意常数个数和阶数相同-->非齐次前的系数之和满足1（非齐次）或0（齐次）-->解的组合是非齐次或齐次的解
      • 上述结论的前提是解不成比例（即线性无关）
    • 高阶齐次线性的解法---利用e^λx^特征根是λ求出等号左边，非齐次的特解代入求出等号右边
      • 已知方程，求通解
      • 已知通解，反求方程
    • 非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解，齐次的通解+另一个非齐次的特解即为该
    • 二阶非齐次的特解求解
    • 两边取极限、两边取积分
    • 几个杂题
  • 多元函数微分学
    • 概念性质
      • 几个概念的强弱关系
      • 利用定义进行全微分（偏导）计算，选择题可以把x、y的系数的相反数作为偏导数直接秒
      • 二阶混合偏导数（即先y后x与先x后y）相等
    • 无条件极值
    • 条件极值（拉格朗日乘数法）
    • 脱帽法的应用
    • 隐函数存在定理
  • 常数项级数
    • 常见结论
    • 比较判别法适用于正项级数（不变号级数）
    • a~n~+a~n+1~、a~2n-1~+a~2n~算是加括号；a~2n-1~-a~2n~加括号实际进行了一次交错，可能把本身交错变回去
    • 偶数次方同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性
    • 加了括号收敛的级数，若为正项级数，则原单项的级数也收敛
    • 条件收料即本身收敛，加绝对值后发散
    • 已知敛散性推不出阶数，阶数也不可以判断敛散性；莱布尼茨判别法需要同时满足递减和趋于0
    • 正数项级数，单纯是1/n的高阶无穷小，仍然推不出收敛，只有当就是1/n^p^，p>1才能断定收敛；
    • 1/n无法作为判别级数收敛的依据；1/nln(n)是发散的（积分判别法），常作为反例；ln(n)/n^p^，只要p>1就收敛
    • 不要把数列的平方和级数的平方搞混
  • 幂级数
    • 常用展开式
    • 利用展开式求函数
    • 假装先积后导再直接套公式出结果
    • 常数项级数可以转化为幂级数和函数在某点的取值

微分方程

一阶线性微分方程

一阶微分方程可以用“齐次通解+非齐次特解”；非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解

在这里插入图片描述

任意常数个数和阶数相同–>非齐次前的系数之和满足1（非齐次）或0（齐次）–>解的组合是非齐次或齐次的解

上述结论的前提是解不成比例（即线性无关）

在这里插入图片描述

高阶齐次线性的解法—利用eλx特征根是λ求出等号左边，非齐次的特解代入求出等号右边

在这里插入图片描述

已知方程，求通解

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已知通解，反求方程

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在这里插入图片描述

非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解，齐次的通解+另一个非齐次的特解即为该

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二阶非齐次的特解求解

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两边取极限、两边取积分

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几个杂题

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多元函数微分学

概念性质

几个概念的强弱关系

一阶偏导连续最强，可微次之
单纯的可偏导推不出任何结论，可偏导和连续没有任何关系

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一阶偏导要求是二元极限等于该点的偏导值

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AB单纯的偏导无法推连续和极限，C单纯的偏导推不出可微，需要加可微的条件才成立
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C选项
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利用定义进行全微分（偏导）计算，选择题可以把x、y的系数的相反数作为偏导数直接秒

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二阶混合偏导数（即先y后x与先x后y）相等

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无条件极值

A是x的二阶偏导，C是y的二阶偏导，B是先x后y的二阶偏导

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条件极值（拉格朗日乘数法）

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脱帽法的应用

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隐函数存在定理

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常数项级数

常见结论

收+收=收、收+发=发、发+发=？
正项级数大收敛推小收敛，小发散推大发散；
加绝对值，提高发散性；
改为交错级数，提高收敛性；
本身就是交错级数再交错、交错级数相乘，提高发散性；
提高一般项的阶数，提高收敛性；
非正项级数加括号，提高收敛性，正项级数加了也白加；（a2n+a2n+1算加括号，减号、an+an+1不算）
交错和提阶同时进行时，无法判断敛散性；
进行偶数次方时，同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性；
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反例

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比较判别法适用于正项级数（不变号级数）

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an+an+1、a2n-1+a2n算是加括号；a2n-1-a2n加括号实际进行了一次交错，可能把本身交错变回去

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偶数次方同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性

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加了括号收敛的级数，若为正项级数，则原单项的级数也收敛

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条件收料即本身收敛，加绝对值后发散

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已知敛散性推不出阶数，阶数也不可以判断敛散性；莱布尼茨判别法需要同时满足递减和趋于0

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正数项级数，单纯是1/n的高阶无穷小，仍然推不出收敛，只有当就是1/np，p>1才能断定收敛；

在这里插入图片描述

1/n无法作为判别级数收敛的依据；1/nln(n)是发散的（积分判别法），常作为反例；ln(n)/np，只要p>1就收敛

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不要把数列的平方和级数的平方搞混

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幂级数

常用展开式

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利用展开式求函数

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假装先积后导再直接套公式出结果

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常数项级数可以转化为幂级数和函数在某点的取值

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