考研数学/*实验体,每天23:00更新ing~*/洗筋伐髓篇/*数竞*//*此篇内容均可通过严谨的推理与证明以自洽*//*自封为新时代欧几里得《几何原本》之《数研原本》100%推理原创*/

• 高等数学/*第一篇*/

  • 第一章：

    • 第一节：

• Function concept and common function：

Introdution:

初等数学与高等数学的区别在于两者的研究对象不同。不变的量->变动的量。
计算:方程算的是某个固定的量,而函数算的却是变化的量//初等函数相当于集合中的元素
初等数学:四则运算,方程,基本函数,简单几何
函数是映射的一种特殊的情况，要理解函数首先要理解映射：
映射的官方的定义：假设两个非空集合X、Y/*因为映射的本质是一种对应关系所以需要两个集合*//*而且要有的映射所以必须是集合必须非空*/存在一个法则f/*对应关系*/使得对X中的每个元素x/*集合X中不可剩余x，要求的是每一个元素*/按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应那么称f为从X到Y的映射。/*如果集合X中有x找不到与之对应元素的y，那么就无法构成映射*//*集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体*/
函数是从实数集到实数集的映射

Function concept：

Definition：

        设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集

           如果对于每个x属于D/*先决条件x必须在一个明确的定义域中/*离散数学直接fire*/*/

           按照一定的对应法则f

           总有一个确定的数值y和它对应

/*

即对于一个函数

不同的两个函数值不可能对应着一个自变量的取值

必然对应着两个不同的自变量取值。

*/ 

          则称y是x的函数

           记为

                                        y=f(x),x属于D

           其中x称为自变量，y称为因变量,D称为函数的定义域，

           记作Df/*下标*/，即Df=D。

           函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域

           

           记为

                                        Rf/*下标*/，或f(D),

            即

                                        Rf/*下标*/=f(D)={y|y-f(x),x属于D}。

【注】：

1）The basic elements of a function：

        Domain of define

        Correspondence rule

        f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。

        /*“形式”是否一致，程序语言中的函数更为形象*/（或称依赖关系）

                

        “function”

        在程序语言中会更清楚的看到函数的结构（下面这段代码是求圆的面积的函数）：

  

      首先大家可以给函数起一个符合实际意义的名字（area_circle）,这就比数学中一直用f(x)、g(x)等简化符号清楚的多了；然后在{ }中描述函数的结构形式，也就是对应法则；接着对于输入的任意数据（rad）都按照{ }里的法则进行操作；如果你开心了，你也可以在{}中再加入一句代码cout <<"求解完毕"，也就是说这个函数的对应法则就根据你的意志有了些微不同。

   

        进一步的讨论

如果上面的比喻你觉得朦朦胧胧有那么一点感觉了，那么再来思考这个题目：

如果函数f(x+1)是偶函数，那么下面两个等式哪个正确呢？

f(−x+1)=f(x+1)
f(−x−1)=f(x+1)

首先，这个题目的字面上，出题人故意增加了难度:“f(x+1)是偶函数”，对于这句话的理解很重要。一个函数是偶函数，是指它的对应法则符合偶函数的性质（当然定义域也得对称），在这个题目中，“f(x+1)是偶函数”不是说“f( )”这个对应法则是偶函数，而是指的“g(x)=f(x+1)”中的“g( )”这个对应法则是偶函数，所以g(x)=g(-x)，即f(x+1)=f(-x+1)。我们再举一个特例来说明：

假设 f(x+1)=x^2，很明显这是一个偶函数，

那么 ，即f(x+1)=x^2=(x+1−1)2，即f(x)=(x−1)^2

那么 f(−x+1)=(−x+1−1)^2=x^2=f(x+1)

而 f(−x−1)=(−x−2)^2≠f(x+1) 。

以上是对函数对应法则形象化解释的尝试，不一定准确。

事实上，函数的概念从来都很难理解，从17世纪莱布尼茨正式提出函数的概念，近几百年一直都在不断地完善和发展。

我们初中学过了传统的定义：

在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，

到了高中，从集合的角度提出了近代的定义：

A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称 f:A→B 为集合A到集合B的函数。

传统定义从运动变化的角度描述函数，较为直观，能形象的描述大部分生活现象；近代的定义从集合出发，有很多优点，比如回避了“变化过程”、“变量”等模糊的词汇，摆脱了函数解析式的束缚等，使得函数定义更加精确。但付出的代价就是概念更加抽象了，更加需要我们认真耐心的学习和理解了。

最后，再来一个题目巩固以下：

若函数y=f(x+1)的定义域为【2,3），求函数y=f(1/x+2)的定义域。

 2）函数同一定义：        

       当两个函数的定义域与对应法则完全相同时，它们就是同一函数

3）要求函数的定义域，应牢记以下结论：

        分式：

                分式的分母不为0

        基本初等函数：

                 /*幂函数*/

                        x的2n次方根/*即偶次方根*/（x>=0）

                 /*指数函数*/

                        

                 /*对数函数*/

                        以a为底的x的对数（x>0）

                 /*三角函数+反三角函数*/

                        tanx,sec x(x不等于k派+二分之派)

                        cotx,csc x(x不等于k派)

                        arcsin x,arccos x(-1<=x<=1)

【例1】
设函数f(x)=(3-x)^-1/2/*上标*/+ln(x-2)
求f(x)的定义域满足：(3-x)^1/2不等于03-x>=0x-2>0解得：2<x<3则：f(x)的定义域为(2,3)

Piecewise function：

有些函数，对其定义域内的自变量不同的取值，其对应法则不能用一个统一的数学表达式表示而要用两个或两个以上的数学式子表示，这类函数称为分段函数

【注】：

分段函数虽然用多个解析式表示

        但它是一个函数

        而不是多个函数

/*

根据函数的定义

        确实只有两个变量

        确实也有一个非空数集

                分段函数由多个子区间组成，每个子区间具有各自的定义域和解析式。

                这些子区间可以根据不同的条件来进行分类，并且在每个子区间内，

                使用不同的解析式     来描述函数的行为。

*/

Definition：/*unoffical*/

        对于每个子区间，都有一个相应的解析式来定义该函数在该区间内的行为。

1）常见形式：

由以下子区间对应的解析式定义函数在某子区间的行为
1)f(x)=2-|1-x^2||3-x^2,x<-1|1+x^2,-1<=x<=1|3-x^2,x>1
2)f(x)=max{x,x^2}|x^2,x<=0|x,0<x<1|x^2,x>=1
3)y=sgnx//符号函数|-1,x<0|0,x=0|1,x=1
4)y=[x]//取整函数
5)天胡
分段函数的五种常见形式
这几个形式证明了分段函数还是一个函数的本质特征

Compond function：

Definition：

        设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg,值域为Rg,若Df∩Dg≠空集

        则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)与函数u=g(x)的复合函数.

        它的定义域为{x|x∈Dg,g(x)∈Df}.

【注】不是任意两个函数都能复合
eg:
y=f(u)=lnu,Df=(0,+∞)
u=g(x)=sinx-1，Rg[-2,0]Df∩Rg=空集.与复合函数定义相悖

Nature：

Domain of definition:f(x)->f(二次根号下x)//Compound function的definition
f(x-1)=ln(x/x-2),f[g(x)]=lnx->f(x),g(x)Understood through the concept of space-occupying constancyand formal variability in programming languages

 Inverse function:

Definition:

        设函数y=f(x)的定义域为D,值域为Ry.若对于任意y∈Ry,有唯一确定的x∈D,使得y=f(x),

        则记为x=f-1(y)，称其为函数y=f(x)的反函数

【注】(1)不是每个函数都有反函数.如y=x^3有反函数，而y=x^2没有反函数

(2)单调函数一定有反函数,但反之则不然

                    {  x,  0<=x<1        

        如f(x)={

                    {  3-x,  1<=x<=2

    有反函数，但不单调. 

(3)通常将y=f(x)的反函数x=f-1(y)写成y=f-1(x)，在同一直角坐标系中，

        y=f(x)和x=f-1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称.

(4)y=f(x)和y=f-1(x)的定义域和值域互换.

(5)f-1(x)[f(x)]=x,f[f-1(x)]=x.

求反函数的步骤:
eg:
y=e^x/(e^x+1)得(e^x+1)y=e^x
得到e^x=y/(1-y)
即：x=lny/(1-y).
则y=e^x/(e^x+1)的反函数为y=lnx/(1-x)
//定义反函数的前提是在单调函数或者非单调函数的单调区间定义

Elementary function：

Definition：

幂函数：    y=x^μ (μ为实数)
幂函数y=x^μ的定义域和值域取决于μ的取值,当x>0时,y=x^μ都有定义.
常见幂函数：y=x,y=x^2,y=x^3,y=三次根号下x,y=1/x.

指数函数    y=a^x(a>0,a≠1)
(1)定义域：(-∞，+∞)，值域：(0,+∞).
(2)单调性：当a>1时,y=a^x单调递增;当0<a<1时,y=a^x单调递减
(3)常见的指数函数：y=e^x,单调递增，lim e^x = 0,lim e^x = +∞.x->-∞       x->+∞
综上：指数函数一定有单调性
//严格单调递增与单调递增在拉格朗日中值定理的证明中的区别是f'(x)>0与f'(x)>=0的区别

对数函数：    y=loga x (a>0,a≠1)
(1)定义域：(0,+∞)，值域(-∞,+∞).
(2)单调性：当a>1时,y=loga x单调递增;当0<a<1 时,y=loga x单调递减
(3)常见对数函数：y=lnx,单调递增,lim lnx =-∞,lim lnx =+∞.x->0+       x->+∞

三角函数    y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx
(1)正弦函数sinx与余弦函数cosx[1]定义域：(-∞,+∞),值域：[-1,1][2]奇偶性：sinx是奇函数,cosx都以2派为周期[3]周期性：sinx和cosx都以2派为周期.[4]有界性：|sinx|<=1,|cosx|<=1.[5]关系式：sin^2x+cos^2x=1.
(2)正切函数 tanx 与余切函数 cotx[1]定义域：tanx的定义域为D={x|x≠k派+派/2,k∈Z};cotx的定义域为D={x|x≠k派,k∈Z}.[2]奇偶性：tanx 和 cotx 都是奇函数.[3]周期数：tanx 和 cotx 都以派为周期.[4]关系式：tanx = sinx/cosx, cotx = cosx/sinx, cotx = 1/tanx.
(3)正割函数secx与余割函数cscx[1]定义域：secx的定义域为D={x|x≠k派+派/2,k∈Z};cscx的定义域为D={x|x≠k派,k∈Z}.[2]奇偶性：secx是偶函数cscx是奇函数[3]周期性：secx和cscx都以2派为周期[4]关系式：secx = 1/cosx,cscx = 1/sinxsec^2x = 1+tan^2x,csc^2x = 1+ cot^2x.

       

反三角函数：
y = arcsin x,y = arccos x,y = arctan x,y=arccot x
(1)反正弦函数 arcsin x与反余弦函数arccos x[1]定义域：[-1,1].值域：arcsin x的值域为[-派/2，派/2],arccos x的值域为[0,派][2]单调性：arcsin x单调递增,arccos x单调递减[3]奇偶性：arcsin x是奇函数.[4]有界性：|arcsin x|<=派/2,0<=arccos x<=派.[5]关系式：arcsin x+arccos x = 派/2，x∈[-1,1].
(2)反正切函数 arctan x 与 反余切函数 arccot x[1]定义域：(-∞，+∞),值域：arctan x 的值域为 (-派/2,派/2),arccot x的值域为(0,派)  [2]单调性：arctan x 单调递增,arccot x单调递减[3]奇偶性：arctan x是奇函数.[4]有界性：|arc tanx|<派/2,0<arccot x<派.[5]关系式：arctan x+ arccot x=派/2.

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统称为基本初等函数

Definition:

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子

表示的函数，称为初等函数。

隐函数
设有关系式F(x,y)=0,若任意x∈D,存在唯一确定的y满足F(x,y)=0与x相对应
由此确定的y与x的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数。

参数方程确定的函数：{x=p(x),
由{       m<=t<=n 确定的函数y= f(x),m<=x<=n. {y=q(x),

幂值函数：y=u(x)^v(x),其中u(x)>0.
幂指函数的讨论常利用恒等式u(x)^v(x)=e^v(x)lnu(x)

• Property of function：

Monotonicity:

Definition:

设函数y=f(x)在某区间I上有定义,如果对于区间I上的任意两点 x1<x2 恒有f(x1)<f(x2)

（或f(x1)>f(x2)）,则称y=f(x)在该区间内单调递增（或单调递减).

【注】函数的单调性主要是利用单调性定义和一阶导函数的正负进行判定.

Parity：

Definition:

设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称（即若x∈D,则有-x∈D），如果对于任一x∈D,

恒有

                        f(-x)=f(x),

则称f(x)为D上的偶函数;如果对于任一x∈D,恒有

                        f(-x)=-f(x),

则称f(x)为D上的奇函数.

【注】1)奇函数的图像关于坐标原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.2)奇函数的代数和仍为偶函数3）偶数个奇函数之积为偶函数，奇数个奇函数之积为奇函数4)两个偶函数之积、商为偶函数5)一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数.6)奇偶性的判断：定义法、运算性质.7)奇函数f(x)若在x=0处有定义,则f(0)=0.8)奇函数：
sinx,tanx.arcsinx,arctanx.ln(1-x)/(1+x),ln(x+根号下x^2+1),(e^x-1)/(e^x+1),f(x)-f(-x)
9)偶函数：
x^2,|x|,cosx,f(x)+f(-x)
/*
eg:
若g(x)在(-∞,+∞)内恒有g(x+y)=g(x)+g(y),对任意x,y都成立.
判定f(x)=g(x)sinx的奇偶性
由g(x+y)=g(x)+g(y),取y=0得g(x)=g(x)+g(0),则g(0)=0.
令y=-x得g(0)=g(x)+g(-x)得g(-x)=g(x),则g(x)为奇函数.
又sinx为奇函数,则f(x)=g(x)sinx为偶函数.
*/

Periodicity:

Definition:

若存在实数T>0,对于任意x,恒有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为以T为周期的周期函数.使得上述关系式成立的最小正数T称为f(x)的最小正周期,简称为函数f(x)的周期

【注】
1)sinx和cosx 以2派为周期,sin2x，|sinx|,tanx,cotx 以派为周期.
2)若f(x)以T为周期,则f(ax+b)以T/|a|为周期.
3)f(x),g(x)均以T为周期，则f(x)+-g(x)也以T为周期.
4)f(x),g(x)分别以T1,T2为周期,则f(x)+-g(x)的周期为T1,T2的最小公倍数.
5)周期性的判定:定义法、周期函数的运算性质.

Boundedness:

Definition:

设y=f(x)在集合X上有定义.若存在M>0，使得对任意的x∈X，恒有则称f(x)在X上为有界函数

否则称f（x）在X上为无界函数.即：如果对任意的M>0，至少存在一个xo∈X，使得|f(xo)|>M

则f(x)为X上的无界函数.    

【注】
1)如果没有指出x的范围,而说“f(x)为有界函数”,是指f(x)在其定义域上为有界函数.
2)函数有界的定义也可表述为：如果存在常数M1和M2,使得对任意x∈X，都有M1<=f(x)<=M2,
则称f(x)在X上有界,分别称M1和M2为f(x)在X的一个下界和上界.
3)常见的有界函数：
|sinx|<=1    |cosx|<=1    |arcsinx|<=派/2    0<=arccosx<=派.
|arctanx|<派/2    0<arccotx<派

极限

• 第二章：

  • 第一节：

    • 导数的计算：

    • 微分的计算：

隐函数求导法：

设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的可导函数，求其导数dy/dx.

方程F(x0两边x求导数，牢记y是x的函数,由复合函数求导法则和四则运算求导法则

得到一个含有dy/dx的方程，从中解出dy/dx即可

【注】

1)dy/dx也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式dy/dx=-(F'x/F'y)得到.

2)dy/dx也可由F(x,y)=0两边微分，得dy=方框dx,则方框即为dy/dx

//优先求导公式解决推导一下，微分/*求微分*/是求导的逆运算，所以导数的公式一定要背熟

微分的概念：

求函数增量/*关于三角形x的函数*/的近似值/*找到主要部分*/

好算，精确度高

1）热胀冷缩的正方形金属片

        已知：A=x^2,x0,三角形x,求三角形A

        三角形A=（x0+三角形x）^2-x0^2

          =2x0三角形x+三角形x^2

        三角形A=x^2在x0处可微,且dx^2|x=x0/*一级下标*/=2x0三角形x

                                在这点的导数乘以三角形x

                                (x)^2|x=x0 三角形x                                                                                                

        常数乘三角形x+三角形高阶无穷小、

//打开看是不是由那两部分构成//判断可微的第一个方法；

//定理能在此点可导则可微

2）铅球的涂抹

        已知:V=4/3派r^3,r0,三角形r.求三角形V=4/3派（r0+三角形r）^3

在这个点以及这个点的附近有定义

已知 y=f(x),x0,三角形x，求三角形y

可微的定义：函数在x0点处/*函数，点知道*/能写成两部分之和就可微

则称y=f(x) 在x0可微,而A三角形x称为f(x)在x0的微分,记作dy,df

                        

微分中值定理,与导数的应用

1~4要求f(x)在[a,b]上连续

有界与最值定理：
m<=f(x)<=M
则m,M分别是区间[a,b]上最小值，最大值
介质定理：
当m<=μ<=M,必存在sc∈[a,b],st f(sc)=μ
平均值定理：
当a<x1<x2<x3……<xn<b,则区间[x1,xn]内至少存在一个ke st f(ke)=(x1+x2+……+xn)/n

5~10中值定理：

定理：

费马定理//引理
设f(x)在x=xo的某领域U(xo)内有定义,
f(xo)是f(x)的一个极大(极小)值,
又设f'(xo)存在,则f'(xo)=0
//首先不可能在两个端点取到极大(极小)值
证明：
任意xo+三角形x∈U(xo),f(xo+三角形x)<=f(xo)f'(xo)=lim f(xo+三角形x)-f(xo)三角形x->0 __________________三角形x{f'_(xo)>=0(三角形x->0-)={                        =>f'(xo)=0{f'+(xo)<=0(三角形x->0+)
【注】：本定理实际上就是可导条件下极值点的必要条件

罗尔定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导又设f(a)=f(b),则至少存在一点ks∈(a,b)使f'(ks)=0
【注】:罗尔定理中的ks实际上就是f(x)的极值点
证明：
根据费马引理在ks的领域内有定义,又函数连续且可导，
则当两端函数中相等时在(a,b)内一定极大(极小)值,
则至少存在一点ks∈(a,b) st f'(ks)=0
//常数函数也适用 
证明：
//可导已告诉，要取到极值
∵f(x)在[a,b]上连续=>一定有最值m=M,则 f(x)是常数函数m<M,则 M和m中至少有一个与端点值不等
/*
1)M在内部
2)m在内部
3)m,M在内部
*/
不妨设M≠f(a),则至少存在一点ks∈(a,b)

拉格朗日中值定理：//罗尔定理的推广，当f(b)=f(a)时退化成罗尔定理
y=f(x)满足：
(1)在区间[a,b]上连续
(2)在区间(a,b)内可导
=>至少存在一点 ks∈(a,b),使f'(ks)={f(b)-f(a)}/(b-a)
f(b)-f(a)=f'(ks)(b-a)//由函数=>导数性态
证明：
f'(ks)-{f(b)-f(a)}/(b-a)=0;
令F(x)=f(x)-{f(b)-f(a)}/(b-a)*x
显然F(x)∈C[a,b]
且在[a,b]内可导
又因为F(a)=F(b)
由罗尔定理知至少存在一点ks∈(a,b) st F'(x)=0,即定理结构成立

证明等式与不等式
1)构造F(x),x∈[a,b]
2)验证F(x)在[a,b]上满足定义中的2/*罗尔*//3/*拉格*/
3)由定理得结论
//有ks 有 b-a优先用拉格