BZOJ4517：排列计数（错排公式）

从开始看这题到现在，已经过了30多把lol的时间了。
话说今天又有一道排列计数的题让我懵逼。

题面
题意：问有多少长为n的排列a，恰好有m个位置存在a[i]=i。

我们枚举这n-m个a[i]≠i位置，有$C_n^m$种情况。
对于x个数的排列，不存在a[i]=i的方案数设为f[x]。经过简单的打表可以发现

$$f[i]=f[i-1]*i+(-1)^i$$
就可以水出这题了。

但是像千反田一样好奇的我非常好奇，学习了一下机巧的二项式反演。
我曾听说过广义容斥原理
讲的是对于一个含有n个条件的集合，全集为P。f[i]为恰好满足i个条件的方案数，w[S]为满足集合S中条件的方案数，g[S]为S的元素个数。公式为

$$f[r]=\sum_{S\subseteq P } (-1)^{g[S]-r}*C_{g[S]}^{r}*w[S]$$
我们设 $$h[x]=\sum_{g[S]=x}w[S]$$
就有 $$f[r]=\sum_{i=r}^n (-1)^{i-r}*C_{i}^{r}*h[i]$$
再回想h的计算方法，有
$$h[r]=\sum_{i=r}^nC_i^rf[i]⇔f[r]=\sum_{i=r}^n (-1)^{i-r}*C_{i}^{r}*h[i]$$
变形一下（我并不懂怎么变形，但每条柿子我都会证明），有 $$h[r]=\sum_{i=0}^rC_r^if[i]⇔f[r]=\sum_{i=0}^r(-1)^{r-i}*C_{r}^{i}*h[i]$$
再有 $$h[r]=\sum_{i=0}^r(-1)^iC_r^if[i]⇔f[r]=\sum_{i=0}^r(-1)^i*C_{r}^{i}*h[i]$$
证一下最后一条吧
$$\sum_{i=0}^r(-1)^iC_r^if[i]$$
$$=\sum_{i=0}^r(-1)^iC_r^i\sum_{j=0}^i(-1)^j*C_{i}^{j}*h[j]$$
$$=\sum_{i=0}^r\sum_{j=0}^i(-1)^i(-1)^jC_r^i*C_{i}^{j}*h[j]$$
$$=\sum_{i=0}^r\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}C_r^j*C_{r-j}^{i-j}*h[j]$$
$$=\sum_{j=0}^rC_r^j*h[j]\sum_{i=j}^r(-1)^{i-j}*C_{r-j}^{i-j}$$
由于对于杨辉三角的每一行，奇数项之和等于偶数项之和，故
$$=f[r]$$

有n个集合，假若设任意i个集合的并集大小都为f[i]，任意i个集合的补集的并集的大小都为h[i]（不知道这样的集合存不存在），就有

$$h[r]=\sum_{i=0}^r(-1)^iC_r^if[i]$$ $$f[r]=\sum_{i=0}^r(-1)^i*C_{r}^{i}*h[i]$$

对于错排，设f[i]为i个数错排的方案。
显然有

$$\sum_{i=0}^nC_n^if[i]=n!$$
反演过来就有 $$f[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}*C_n^i*i!$$
$$=n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}$$
终于打完了，嘟嘟噜。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))typedef long long LL;const int nn=1000000,N=1003000;
const int p=1e9+7;int T,n,m;
LL jc[N],Ijc[N],I[N],f[N];int main()
{jc[0]=Ijc[0]=I[1]=1;for(int i=2;i<=nn;i++)I[i]=(p-p/i)*I[p%i]%p;for(int i=1;i<=nn;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%p;for(int i=1;i<=nn;i++)Ijc[i]=Ijc[i-1]*I[i]%p;f[0]=1;f[1]=0;for(int i=2;i<=nn;i++)if(i&1)f[i]=(f[i-1]*i-1+p)%p;elsef[i]=(f[i-1]*i+1)%p;cin>>T;while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);LL ans=jc[n]*Ijc[m]%p*Ijc[n-m]%p*f[n-m]%p;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

还是纱雾的水题专场