计算机图形学Viewing视图变换理论和公式推导

Viewing变换总结（Model+View+Projection+ViewPort)

基本变换过程和理论

Model transformation 模型变换

模型和摄像机的相对位置在变换时要保持一致，在实际操作中需要对两者进行相同的变换，在摄像机变换中会进行介绍

View/Camera transformation 摄像机变换

• 原位置e(Xe,Ye,Ze,0)T 变换到原点(0,0,0,0)T
• 原朝向g(Xg,Yg,Zg,1)T 变换到-z轴方向(0,0,-1,1)T
• 原向上方向t(Xt,Yt,Zt,1)T 变换到y轴方向(0,1,0,1)T
• 原X方向g×t(Xg×t,Yg×t,Zg×t,1)T 变换到x轴方向(1,0,0,1)T

变换过程

1. 先将相机移动到原点位置Tview位移变换矩阵
2. 再将相机的三个轴向分别转换为x y -z轴方向
   • 技巧性，将任意轴转换到标准的xyz方向不容易，但将标准的xyz方向转到任意轴相对容易。而此过程正好是互逆的，可以通过求原转换的逆矩阵，再转换回去简单的求解。
   • 而且旋转矩阵还是正交矩阵，即矩阵的逆等于矩阵的转置，更加方便求解。

变换矩阵公式

Mview = Rview Tview

一般情况下，Model和Camera都要一并一齐转换，而Camera的目标位置和方向其实已经明确，直接就可以进行赋值而不用乘以相关转换矩阵，只需要对Model乘以此转换矩阵（因为Model的目标位置并不明确）

所以一般以上两步转换都是一块的，称作ModelView变换

Projection transformation 投影变换

正交投影变换 Orthographic Projection Transformation

经过ModelView变换后，可以得到上图的情况，Model处于任意位置。

正交投影变换是为了将Model转换到以原点为中心的各个轴的范围都是[-1,1]长度为2的canonical cube（标准正方体中）

转换过程如下图所示 X:Left,Right Y:Top,Bottom,Z:front,Back

1. 将Model的中心( (l+r)/2 , (t+b)/2 , (n+f)/2 , 0)T 平移到原点位置(0,0,0,0)T
2. 将Model缩放(拉伸)到每个轴都是[-1,1]的范围内

注意这里是先位移再进行线性变换缩放，不能将变换矩阵合并

变换矩阵公式如下

Mortho = Sorthor Tortho

透视投影变换 Perspective Projection Transformation

Mpersp = Mortho Mfrustum->cuboid

投影变换其实就是先将Frustum压缩成Cuboid后在进行一次正交投影变换的过程 这里主要介绍一下压缩的变换过程和公式推导

y坐标的变换

从侧面望去，利用相似三角形的性质即可求出y到y’的转换公示

x坐标的变换

从上向下俯视望去，和y坐标同理可得x到x’的转换公式

z坐标的转换

根据x和y已经能求出绝大部分的矩阵的元素，但是关于z的转换的那一列仍是未知的，主要思路为根据几个特性代入特殊值求解。

• 近平面(z=n)的所有坐标在转换前后，位置坐标不变
• 远平面的中心点(z=f,x=y=0)在转换后，位置坐标不变

根据以上两个特效即可求出最终的结果，具体证明过程参考后面

变换公式

压缩矩阵 Mfrustum->cuboid如下

Mper = MorthoMpersp->ortho

投影变换矩阵结果公式结果如上图

ViewPort transformation 视口变换

视口变换是为了将原标准立方体，忽略z轴并变换到屏幕空间，即原来的x和y的范围[-1,1]变换成x:[0,width] y:[0,height]

变换过程

• 忽略z轴
• 先将原标准[-1,1]立方体拉伸至[-width/2,width/2] [-height/2,height/2]
• 然后将立方体的左下角(-width/2,-height/2)移动到原点处（为了和屏幕空间坐标系对应）

视口变换矩阵

总结转换

变换矩阵的证明过程

ModelView变换公式推导

正交投影变换公式推导

透视投影变换公式推导

视口变换矩阵公式推导