微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）中文版Section4.4

本文主要是介绍微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）中文版Section4.4，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

稳态的振幅和相位系统

在本节中，我们回到方程

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+p\frac{dy}{dt}+qy=\cos \omega t$$

用于周期性强迫的阻尼谐振子。我们的目标是建立解决方案行为与参数之间的定量关系——特别是决定强迫频率的 $\omega$ 和决定阻尼的 $p$。

正如我们在第4.2节中所见，所有解决方案的长期行为是相同的。它由强迫方程的特解 $y_p(t)$ 决定，形式可以写成

$$y_p(t)=A\cos (\omega t+\varphi ).$$

因此，对于大时间 $t$，所有解的振荡频率与强迫相同。这是解决方案的稳态行为。振荡的振幅是 $A$，相位角是 $\varphi$。在本节中，我们将找到 $A$ 和 $\varphi$ 关于 $\omega$、$p$ 和 $q$ 的表达式。

稳态行为

为了找到强迫方程

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+p\frac{dy}{dt}+qy=\cos \omega t$$

的一个特解，我们遵循第4.2节中介绍的技术，并使用应用于复杂化方程的未定系数法

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+p\frac{dy}{dt}+qy=e^{i\omega t}.$$

接下来，我们假设 $y_c(t)=a{e}^{i\omega t}$ 并确定使 $y_c(t)$ 成为解的 $a$ 的值。将 $y_c(t)$ 代入微分方程的左侧，我们得到

$$\frac{d^2{y}_c}{d{t}^2}+p\frac{d{y}_c}{dt}+q{y}_c=-a{\omega }^2{e}^{i\omega t}+p(ia\omega e^{i\omega t})+q(a{e}^{i\omega t})=a\left[(q-{\omega }^2)+ip\omega \right]e^{i\omega t}.$$

为了使 $y_c(t)$ 成为解，我们必须取

$$a=\frac{1}{b}$$

其中 $b$ 是复数 $(q-{\omega }^2)+ip\omega$。

正如我们在第4.2节中所见，我们可以从复数 $a$ 的极坐标形式

$$a=|a|e^{i\varphi }=A{e}^{i\varphi }$$

中确定 $y_p(t)$ 的振幅 $A$ 和相位角 $\varphi$。（有关复数的极坐标表示的回顾，请参见复数附录。）在这种情况下，由于 $a=1/b$，我们有

∣ a ∣ = 1 ∣ b ∣ |a| = \frac{1}{|b|}

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