本文主要是介绍微分方程（Blanchard Differential Equations 4th）中文版Section3.5，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
特殊情况: 重根和零特征值的线性系统
在前面的三节中，我们讨论了线性系统
d Y d t = A Y \frac{dY}{dt} = AY dtdY=AY
其中 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 A A A 具有两个不同的非零实特征值或一对复共轭特征值。在这些情况下，我们能够使用特征值和特征向量来草绘 x y xy xy 相平面的解，绘制 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图形，并推导出一般解的显式公式。我们尚未讨论特征多项式 A A A 只有一个根（双重根）的情况，即 A A A 只有一个特征值的情况。在之前的章节中，我们还根据特征值（或特征值实部的符号）对原点的平衡点进行了分类，包括汇点、源点、鞍点、螺旋汇点、螺旋源点或中心。这种分类方案省略了零是特征值的情况。在本节中，我们将修改我们的方法以处理这些剩余的情况。
大多数二次多项式具有两个不同的非零根，因此只有一个特征值或具有零特征值的线性系统相对较少。这些系统有时被称为退化系统。然而，它们仍然很重要。这些特殊系统形成了最常见类型线性系统之间的“边界”。每当我们研究依赖于参数的线性系统，并且系统在参数变化时改变行为或发生分叉时，这些特殊系统都扮演着关键的角色（见第3.7节）。
具有重复特征值的系统
考虑以下线性系统：
d Y d t = A Y = ( − 2 1 0 − 2 ) Y . \frac{dY}{dt} = AY = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} Y. dtdY=AY=(−201−2)Y.
该系统的方向场看起来与我们迄今为止考虑的向量场有所不同，因为似乎只有一条直线解（请注意图3.31中的x轴）。
从代数的角度来看，这个矩阵也很特殊。该系统的特征值是特征多项式的根：
det ( A − λ I ) = ( − 2 − λ ) ( − 2 − λ ) − 0 = ( λ + 2 ) 2 , \text{det}(A − \lambda I) = (-2 − \lambda)(-2 − \lambda) − 0 = (\lambda + 2)^2, det(A−λI)=(−2−λ)(−2−λ)−0=(λ+2)2,
其唯一的根是 λ = − 2 \lambda = -2 λ=−2。我们称 λ = − 2 \lambda = -2 λ=−2 为 A A A 的一个重复特征值。通过求解 A Y 0 = − 2 Y 0 AY_0 = -2Y_0 AY0=−2Y0 来找到相应的特征向量 Y 0 = ( x 0 , y 0 ) Y_0 = (x_0, y_0) Y0=(x0,y0)。我们有
{ − 2 x 0 + y 0 = − 2 x 0 − 2 y 0 = − 2 y 0 , \begin{cases} -2x_0 + y_0 = -2x_0 \\ -2y_0 = -2y_0, \end{cases} {−2x0+y0=−2x0−2y0=−2y0,
这表明 y 0 = 0 y_0 = 0 y0=0。因此，所有对应于特征值 λ = − 2 \lambda = -2 λ=−2 的特征向量都位于 x 轴上，因此该系统的所有直线解都位于该轴上。向量 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0) 是与 λ = − 2 \lambda = -2 λ=−2 相关的特征向量，因此函数
Y 1 ( t ) = e − 2 t ( 1 0 ) Y_1(t) = e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} Y1(t)=e−2t(10)
是该系统的一个解。但这只是一个解，正如我们所知，要获得一般解，我们需要两个独立的解。真是遗憾。
另一方面，这也不完全是灾难。我们的目标是理解该系统解的行为。写出一般解的公式肯定有帮助，但这并不是唯一的选择。我们始终可以使用数值和定性方法来研究该系统。
为了获得解的定性描述，我们从这条直线解开始。由于特征值是负的，我们知道解随着 t t t 的增加沿着这条直线趋向原点。通过观察方向场（或使用欧拉方法），我们可以勾画出其他解（见图3.32）。每个解随着 t t t 的增加都会趋向原点，因此 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 是一个汇点。对于不位于 x x x 轴上的初始条件，似乎相应的解会转弯并以与 x x x 轴相切的方向到达原点。这些解看起来像是试图绕着原点旋转，但直线解在某种程度上“阻碍”了它们。在第3.7节中，我们将看到具有重复特征值的线性系统形成了在旋转解和具有两条独立直线解的线性系统之间的“边界”。
这个例子的通解
求解该系统的一个方法是考虑其分量方程：
d x d t = − 2 x + y \frac{dx}{dt} = -2x + y dtdx=−2x+y
d y d t = − 2 y . \frac{dy}{dt} = -2y. dtdy=−2y.
我们发现了一个幸运的突破。变量 x x x 没有出现在 d y d t \frac{dy}{dt} dtdy 的方程中，该系统部分解耦了（见第2.4节）。考虑方程
d y d t = − 2 y , \frac{dy}{dt} = -2y, dtdy=−2y,
我们注意到其通解为 y ( t ) = y 0 e − 2 t y(t) = y_0 e^{-2t} y(t)=y0e−2t，其中常数 y 0 y_0 y0 表示 y ( t ) y(t) y(t) 的初始值。现在我们知道了 y ( t ) y(t) y(t)，可以将其代回第一个方程：
d x d t = − 2 x + y 0 e − 2 t . \frac{dx}{dt} = -2x + y_0 e^{-2t}. dtdx=−2x+y0e−2t.
我们一定过得很好（或者非常巧妙地选择了这个例子），因为这是一个一阶非齐次线性方程 x ( t ) x(t) x(t)。我们可以使用扩展线性原理和第1.8节中讨论的猜测法来求解它。其通解为：
x ( t ) = y 0 t e − 2 t + x 0 e − 2 t , x(t) = y_0 t e^{-2t} + x_0 e^{-2t}, x(t)=y0te−2t+x0e−2t,
其中常数 x 0 x_0 x0 是 x ( t ) x(t) x(t) 的初始值。（如果读者不记得如何求解这些方程的解，可以将其视为提醒，回顾第1.8节中发展出的解析技术。）我们可以将通解写成向量形式：
Y ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) = ( y 0 t e − 2 t + x 0 e − 2 t y 0 e − 2 t ) . Y(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_0 t e^{-2t} + x_0 e^{-2t} \\ y_0 e^{-2t} \end{pmatrix}. Y(t)=(x(t)y(t))=(y0te−2t+x0e−2ty0e−2t).
现在我们仔细研究这个解，看看是否有可以推广的模式。如果将包含 t e λ t te^{\lambda t} teλt 的项与仅包含 e λ t e^{\lambda t} eλt 的项分开，我们得到：
Y ( t ) = e − 2 t ( x 0 y 0 ) + t e − 2 t ( y 0 0 ) . Y(t) = e^{-2t} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}+ t e^{-2t} \begin{pmatrix} y_0 \\ 0 \end{pmatrix}. Y(t)=e−2t(x0y0)+te−2t(y00).
注意第一个向量是解的初始条件，而第二个向量是一个特征向量，除非 y 0 = 0 y_0 = 0 y0=0。如果 y 0 = 0 y_0 = 0 y0=0，第二项消失，我们得到一条直线解。
一开始，通解中的符号可能让人感到复杂：
Y ( t ) = e − 2 t ( x 0 y 0 ) + t e − 2 t ( y 0 0 ) . Y(t) = e^{-2t} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}+ t e^{-2t} \begin{pmatrix} y_0 \\ 0 \end{pmatrix}. Y(t)=e−2t(x0y0)+te−2t(y00).
通解中的符号可能看起来与我们在本章中之前使用的符号有所不同。然而，我们可以将任意初始条件 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 视为另一对参数。与其将通解表示为两个线性无关解的线性组合，不如用初始条件来表示通解。对于具有重复特征值的情况，这是一种最方便的表达通解的方式。
通解的形式
这种形式的解提供了一些线索，关于如何确定具有重复特征值但只有一条特征向量线性系统的一般解。我们从代数角度考察这个情况。考虑以下形式的系统：
d Y d t = A Y , \frac{dY}{dt} = AY, dtdY=AY,
其中 A A A 具有重复特征值 λ \lambda λ。受到我们示例的启发，我们尝试一种形式的解：
Y ( t ) = e λ t V 0 + t e λ t V 1 . Y(t) = e^{\lambda t} V_0 + t e^{\lambda t} V_1. Y(t)=eλtV0+teλtV1.
注意到 Y ( 0 ) = V 0 Y(0) = V_0 Y(0)=V0，这是 Y ( t ) Y(t) Y(t) 的初始条件。
给定这种形式的 Y ( t ) Y(t) Y(t)，我们计算方程 d Y d t = A Y \frac{dY}{dt} = AY dtdY=AY 的两边。对于左边，我们使用乘积法则对 Y ( t ) Y(t) Y(t) 进行微分。我们得到：
d Y d t = λ e λ t V 0 + e λ t V 1 + t λ e λ t V 1 = e λ t ( λ V 0 + V 1 ) + t e λ t ( λ V 1 ) . \frac{dY}{dt} = \lambda e^{\lambda t} V_0 + e^{\lambda t} V_1 + t \lambda e^{\lambda t} V_1 = e^{\lambda t} (\lambda V_0 + V_1) + t e^{\lambda t} (\lambda V_1). dtdY=λeλtV0+eλtV1+tλeλtV1
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