通俗范畴论2 有向图与准范畴

本文主要是介绍通俗范畴论2 有向图与准范畴，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

退一步海阔天空，在正式进入范畴论之前，我们可以重新审视一下我们是如何认识世界的，有了这个对人类认识世界过程的底层理解，可以帮助我们更好地理解范畴论。

对于人类认识世界，最神奇的一点就是这个世界居然是可以认识的，我们可以用自然语言描述它、我们可以用数学公式表示它，当然我们也可以用二维的图画描摹它，我们也可以把它看成三维的空间加一维的时间，也可以将三维空间和时间看成一体的，从而我们的世界是四维时空。

特指对象

现在我们做一个思想实验，在这个实验中，人类突然失去了语言能力，我们看到苹果，我们就本能地吃它，我们看到狮子，就本能地逃避，但是我们说不出，也认识不到苹果和狮子这两个符号。其实，我们的很多行为，都是这样的情况。比如，骑自行车，你需要练习和掌握，形成直觉和习惯，于是你就会骑自行车了，但是你可能对自行车运动的物理公式一无所知。同样，我们跑步、打篮球、游泳，也是一样，当我们做着这些行为时，我们并不是抽象思考和运算，而是依赖本能的直觉和习惯，并不依赖于语言。

现在，你要将这些直觉和习惯传递给另一个个体，怎么办呢？因为没有语言能力，其实没有什么特别好的办法，比如你想让同伴也会骑自行车，你只能不断骑，希望同伴能领会和模仿，但是同伴可能并不能会意，即使看到多次，也完全没有领会你是想让他学骑自行车。我们可以看到，个体间交流信息，必须有一个符号系统，这个符号系统双方要都能领会才行，在本能和直觉的世界，你的直觉驱使你向同伴展示骑车，而同伴的本能告诉他，你在骑车，没有别的意思，那么，你的意图就没法有效传递。

现在，让我们回到有语言的世界，我们突然发现，语言是如此重要，它是人与人沟通的桥梁和工具，而这个工具的核心是符号。比如，我们把经验中头顶最亮的部分叫做天，我们把脚踩的部分叫做地，我们把挡在前面的需要爬的土堆叫做山，把一种长者白色斑点有角的小型食草动物叫做梅花鹿，等等。于是，我们可以非常方便地描述世界，也能够愉快地和同伴交流了。

符号又是什么呢？符号就是事物的名字。我们反复观察到一个现象，给它取个名字，这就是符号。那取个名字是个什么意思呢？取个名字，就是一种映射，或者叫做对应，英文称为Mapping。比如，我说苹果这个名字，你想到了什么：

苹果 → 圆形的、红黄色的、甜的、带皮的、有果肉的….

在上述对应中：

苹果是符号，如果没有右半部分的对应物，这个符号没有任何意义
圆形的、红黄色的、甜的、带皮的、有果肉的….，这个右半部分，是符号的对应物，它的内涵很丰富，我们右半部分只写了一部分，他的全部内涵，一本书都写不完，如果我们需要把对苹果的描述精确到DNA特征，或分子级别的话
对应是一种抽象：当我们给右半部分取一个名字时，我们浓缩或者说忽略了苹果的具体内涵，把它所有的内涵作为一个整体，以苹果这个名字代之

我们在日常生活中，因为有语境的关系，所以我们对苹果的具体含义不会造成混肴。具体说，自然语言的苹果有三个含义，泛指含义、小泛指含义和特指含义。

我们先看泛指含义，如果我们把苹果这个名字所指代的所有东西，都放到一起，那么就是世界上所有的苹果，把它们一个个地放到一起，比如放到一个很大很大的箩筐里，这个箩筐，就构成了苹果集合，苹果集合这个大箩筐，里面是世界上所有的苹果。

我们在日常生活中也使用小泛指含义，以下是一些例子：

我想去买点苹果：大多数情况，指的是买某个数量/重量的一些苹果
这些苹果要做成苹果派：指的是眼面前的多个苹果

最后让我们看看特指含义：

把桌上的苹果递给我吃：指桌上的放着的一个具体苹果
这是我吃到的最甜的苹果：指一个在我看来最甜的苹果
我要吃一个苹果：指某个我未来要吃的苹果

因此，泛指含义指所有的，小泛指含义指在某个范围内的所有，特指含义指某个具体的。如果把泛指看成一个集合，那么小泛指就是泛指集合的某个子集，而特指则是泛指或小泛指中的一个具体元素。对于所有特指的东西，我们给它取个名字，叫做特指对象：

特指对象

名字对应的某个东西

下面我们取一个特指对象：苹果1，对于 苹果1 这个特指对象, 因为它是某个，因此我们可以用一个点表示它，于是我们有：

特指对象

Figure 1. 特指对象

在上图中，点和苹果1，都代表同一个特指对象。用点表示这个特指对象非常形象，它有下面三层含义：

我们把特指对象画成一个点，表示它可以与世界的其他部分区分开来，即可以与其他的点（其他特指对象）和空白（世界中未取名字的部分）区分开来
特指对象不同于元素，一个集合的元素之间彼此独立，我们不考虑元素间的关系，特指对象之间可以考虑关系
如果名字不同，或者点不同，我们默认它们是不同的特指对象，除非特别说明多个名字或多个点是同一个特指对象的不同标记。

请看下图：

不同的特指对象

Figure 2. 不同的特指对象

在上图中，苹果1和苹果2是两个不同的特指对象，也就是说，是两个不同的苹果，除非在图中我们特别指明苹果1和苹果2是同一个苹果。

现在我们从上图反推特指对象，苹果1是一个名字，苹果2是一个名字，两个名字不同，我们没有特别说明苹果1和苹果2指同一个特指对象。因此就默认了这两个名字所代表的特指对象是可区分的（distinguishable），也就是说，是不同的。这两个特指对象哪里不同呢？也许大小不同、也许颜色不同，也许位置不同….，总之，苹果1指代的特指对象，和苹果2指代的特指对象，必然有某种属性，或者特征，使得我们可以断定，苹果1和苹果2不同。

特指对象间的关系

下面我们看看特指对象之间的关系，我们还是以苹果为例。止不住好奇心，我们观察了一下两个苹果的大小，发现苹果2比苹果1小，为了表示两个特指对象的这种关系，我们引入箭头，箭头的名字叫做“小于”，于是有：

Diagram

上面这个由点、箭头以及点和箭头的标记（名字）构成的图，叫做有向图。它是一种很有力的思维整理工具。这里的箭头有如下特征：

箭头的首尾必须分别连接一个特指对象
箭头将起点的对象映射（Mappping）到终点的对象，因此如果我们有一个箭头，那么就意味着必然有一个起点特指对象和一个终点特指对象
你可以将起点特指对象看作输入，经过箭头的mapping，我们得到了终点特指对象

有向图

下面我们做下推广，把你当下想到的特指对象，放到一起，看看它们是什么关系。这是笔者得到的一幅图：

分苹果有向图

Figure 3. 分苹果有向图

这副图的含义是今天天气晴朗，我买了3个苹果，最大的给了爸爸，次大的给了妈妈，最小的给了我自己。可以看到，有向图可以较好地描述自然语言背后的结构，因此它是一种很好的整理思路的工具。在上图中：

上图中的点，全部是特指对象
3苹果是我买的三个苹果，一个整体，对应最大的一个、次大一个的和最小的一个苹果
今天对应晴朗，今天的晴朗
今天对应一个我，今天的我
每个箭头都取了一个名字
一个特指对象可以作为0条，1条，乃至于多条，甚至无限多条箭头的起点或终点
连续的起点和终点以及它们之间的箭头，可以形成环路

有向图与MindMap

我们再看一个有向图的例子：

地球圈

Figure 4. 地球圈

请看上图的实线部分，地球包含了水圈、陆地圈和大气圈，大气圈包含了对流层和平流层，对流层里包含云。这些箭头构成了一个树型结构，因此树型结构是有向图的一种特殊形式，而我们常用的思维导图（MindMap）也是树型结构，因此MindMap是有向图的一种特殊形式。

有向图形成的网状结构，可以从多个方面反映一个系统的结构，在上图中，我们还可以看到水圈的水受太阳照耀，受热会蒸发形成某朵云，这朵云飘到陆地，受冷降雨落到了地面，在地面上汇入河流，最后河流里的水再次回归大海。因此，对于一个系统结构的全面描述，有向图要有力得多，而思维导图（MindMap）对于包含关系描述或分类描述，则是很好的分析工具。

特指对象下的有向图

如果仔细考虑分苹果有向图和地球圈有向图，您可能会有些疑问：

对于分苹果有向图，3个苹果不一定有一个最大，一个中等大，一个最小，所以挑苹果的三个箭头不一定能成立。请注意，我们这里的3个苹果是特指对象，它是特定的三个苹果，具体地说，就是我在天气晴朗的今天买的3个苹果，它们恰好一个最大，一个中等大，一个最小。

对于地球圈有向图，升起的云不一定移动到陆地，变成陆地云，因此移动箭头不一定成立。请注意，我们这里的云是特指对象，这朵云恰好就移动到了陆地。如果我们要考虑云直接在海面上受冷变成雨的情况，我们就需要再举一个特指云对象：

多个特指云对象

Figure 5. 多个特指云对象

如上图所示，我们有了云1和云2两个特指对象，分别表示两个特指云对象，一个飘向陆地，一个留在海面上。相应地，也有雨1和雨2，表示两个特指雨对象，一个落到大地上，一个落到海面上。

试想一下，如果要描述的系统有很多对象，那么我们就会有很多、很多相似的特指对象和箭头，例如上图中的云1、云2，和受热蒸发1，受热蒸发2等。一个更极端的例子是非负整数加操作，它的特指对象有无限多个，为简化起见，我们限定特指对象只有0，1，2，3，4：

整数1到4的加操作

Figure 6. 整数1到4的加操作

如果把上图扩展到所有非负整数，那么具体对象就会有无穷多个，而每一个具体对象，都有无穷多条箭头指向大于或等于它的其他非负整数，因此我们说非负整数加操作富含特指对象和箭头。

在上图中，我们还注意到，从一个特指对象出发，经过箭头，可以回到该特指对象，也就是说，特指对象可以自指。

此外，特指对象有向图表达方式比较“原始”。从上图中我们可以看到，它巨细无遗地显示了非负整数加法的结构，以至于我们无法把所有非负整数加法的特指对象有向图完整画出来。但是，相应地，这种原始性，也意味着这种表达方式的基本性。按照前述特指对象的定义，它是一个有名字的某个东西，所有特指对象的共同特征就只有两个：有一个名字，可以作为箭头的起点或终点。因为一个名字可以指代任意的某个东西，因此它可以被应用到几乎任何语境，从而箭头也可以应用到任何语境，从而得到一个有向图。而名字到底指的什么，箭头到底什么意思，则取决于该语境。