本文主要是介绍DeepSORT（目标跟踪算法） 卡尔曼滤波 状态向量是如何映射到观测向量（测量向量）的即观测矩阵的构建方式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
DeepSORT（目标跟踪算法） 卡尔曼滤波 状态向量是如何映射到观测向量（测量向量）的即观测矩阵的构建方式
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测量向量和观测变量在卡尔曼滤波的上下文中通常是同一个意思。它们都指的是从系统中直接获得的数据，这些数据用于更新系统的状态估计。可以是从传感器或测量设备直接获得的数据。这些数据反映了系统在某一时刻的状态或者实际观测到的值，但通常带有噪声。
状态向量映射到观测向量的过程通过观测矩阵 H \mathbf{H} H 实现。观测矩阵 H \mathbf{H} H 描述了系统状态如何映射到观测值。下面通过一个具体的例子来详细说明这一过程。
构造观测矩阵 H \mathbf{H} H 的步骤包括：
- 定义状态变量：明确系统的状态变量。
- 定义观测变量：明确系统的观测变量。
- 写出观测方程：根据观测变量和状态变量之间的关系写出观测方程。
- 构造观测矩阵：根据观测方程提取观测矩阵 H \mathbf{H} H。
例子：一维位置和速度的观测
假设我们有一个物体在一维直线上运动，我们希望估计其位置和速度，并且我们可以直接观测到位置，但不能直接观测到速度。
定义状态变量
状态向量定义为：
x k = [ x k v k ] \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \\ v_k \end{bmatrix} xk=[xkvk]
其中， x k x_k xk 是位置， v k v_k vk 是速度。
观测模型
我们可以直接测量位置 x k x_k xk，但不能直接测量速度 v k v_k vk。因此，观测向量定义为：
z k = [ z k ] \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_k \end{bmatrix} zk=[zk]
其中， z k z_k zk 是我们观测到的位置。
观测方程
观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中，观测向量只包含位置，因此观测矩阵 H \mathbf{H} H 为：
z k = H x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hxk+vk
其中， v k \mathbf{v}_k vk 是观测噪声。
对于这个例子，观测矩阵 H \mathbf{H} H 是：
H = [ 1 0 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} H=[10]
这样，观测方程可以写成：
z k = 1 ⋅ x k + 0 ⋅ v k + v k z_k = 1 \cdot x_k + 0 \cdot v_k + v_k zk=1⋅xk+0⋅vk+vk
即：
z k = x k + v k z_k = x_k + v_k zk=xk+vk
构造观测矩阵 H \mathbf{H} H
通过上面的分析，我们得到了观测矩阵 H \mathbf{H} H：
H = [ 1 0 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} H=[10]
另一个例子：二维位置和速度的观测
假设我们有一个物体在二维平面上运动，我们希望估计其二维位置和速度，并且我们可以直接观测到位置，但不能直接观测到速度。
定义状态变量
状态向量定义为：
x k = [ x k y k v x , k v y , k ] \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ v_{x,k} \\ v_{y,k} \end{bmatrix} xk= xkykvx,kvy,k
其中， x k x_k xk 和 y k y_k yk 是位置， v x , k v_{x,k} vx,k 和 v y , k v_{y,k} vy,k 是速度。
观测模型
我们可以直接测量位置 x k x_k xk 和 y k y_k yk，但不能直接测量速度 v x , k v_{x,k} vx,k 和 v y , k v_{y,k} vy,k。因此，观测向量定义为：
z k = [ z x , k z y , k ] \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_{x,k} \\ z_{y,k} \end{bmatrix} zk=[zx,kzy,k]
其中， z x , k z_{x,k} zx,k 和 z y , k z_{y,k} zy,k 是我们观测到的位置。
观测方程
观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中，观测向量只包含位置，因此观测矩阵 H \mathbf{H} H 为：
z k = H x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hxk+vk
其中， v k \mathbf{v}_k vk 是观测噪声。
对于这个例子，观测矩阵 H \mathbf{H} H 是：
H = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} H=[10010000]
这样，观测方程可以写成：
[ z x , k z y , k ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] [ x k y k v x , k v y , k ] + [ v x , k v y , k ] \begin{bmatrix} z_{x,k} \\ z_{y,k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ v_{x,k} \\ v_{y,k} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{x,k} \\ v_{y,k} \end{bmatrix} [zx,kzy,k]=[10010000] xkykvx,kvy,k +[vx,kvy,k]
即：
[ z x , k z y , k ] = [ x k y k ] + [ v x , k v y , k ] \begin{bmatrix} z_{x,k} \\ z_{y,k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{x,k} \\ v_{y,k} \end{bmatrix} [zx,kzy,k]=[xkyk]+[vx,kvy,k]
构造观测矩阵 H \mathbf{H} H
通过上面的分析，我们得到了观测矩阵 H \mathbf{H} H：
H = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} H=[10010000]
测量向量（Measurement Vector）
测量向量包含实际观测或测量得到的数据。它通常是状态向量的一部分或线性变换。
- 记作 z k \mathbf{z}_k zk，反映了系统在时间 k k k 的观测数据。
观测矩阵（Observation Matrix）
观测矩阵将状态向量映射到测量向量，表示从状态向量到测量向量的关系。它定义了哪些状态变量是可观测的以及如何被观测。
- 记作 H k \mathbf{H}_k Hk，用于从状态向量中提取测量向量：
z k = H k x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hkxk+vk
关系与应用
- 测量向量与观测矩阵：观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk 描述了如何从状态向量 x k \mathbf{x}_k xk 中提取测量向量 z k \mathbf{z}_k zk。例如，如果我们只能测量位置而不能直接测量速度，那么观测矩阵可能是： H k = [ 1 0 ] \mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} Hk=[10]
例子
假设我们要跟踪一个在平面上运动的物体，其状态包括位置和速度：
- 状态向量 x k \mathbf{x}_k xk: x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ \dot{x}_k \\ \dot{y}_k \end{bmatrix} xk= xkykx˙ky˙k 这里 x k x_k xk 和 y k y_k yk 是位置， x ˙ k \dot{x}_k x˙k 和 y ˙ k \dot{y}_k y˙k 是速度。
- 状态转移矩阵 A k \mathbf{A}_k Ak: A k = [ 1 0 Δ t 0 0 1 0 Δ t 0 0 1 0 0 0 0 1 ] \mathbf{A}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ak= 10000100Δt0100Δt01 这表示位置随时间步长 Δ t \Delta t Δt 变化。
- 测量向量 z k \mathbf{z}_k zk: z k = [ z x k z y k ] \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_{x_k} \\ z_{y_k} \end{bmatrix} zk=[zxkzyk]这里 z x k z_{x_k} zxk 和 z y k z_{y_k} zyk 是测量得到的位置。
- 观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk: H k = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} Hk=[10010000]这表示我们只测量位置，而速度不可测。
在卡尔曼滤波中，预测步骤利用状态转移矩阵和控制输入预测系统的下一个状态。具体步骤如下：
测量向量通过观测矩阵可以得到预测测量值。这一过程是将状态向量映射到测量空间的关键步骤，用于比较实际测量值和预测测量值，从而更新状态估计。观测矩阵和测量残差一起在卡尔曼滤波器中发挥作用，使得状态估计更加准确和可靠。
观测矩阵的作用
观测矩阵（Observation Matrix）描述了状态向量与测量向量之间的关系。它将状态向量映射到测量空间，使得可以从状态向量中提取出测量向量。
测量向量与预测测量值
假设系统的状态向量为 x k \mathbf{x}_k xk，测量向量为 z k \mathbf{z}_k zk，观测矩阵为 H k \mathbf{H}_k Hk。观测矩阵将状态向量映射到测量空间，得到预测测量值（或估计测量值） z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k：
z ^ k = H k x k \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k z^k=Hkxk
具体步骤
- 预测步骤：利用状态转移矩阵和控制输入预测下一时刻的状态向量 x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^k∣k−1。
- 计算预测测量值：利用观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk 将预测状态向量 x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^k∣k−1 转换为预测测量值 z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k：
z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} z^k=Hkx^k∣k−1 - 更新步骤：比较预测测量值 z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k 和实际测量值 z k \mathbf{z}_k zk，计算测量残差 y k \mathbf{y}_k yk，并用它来更新状态向量和误差协方差矩阵。
例子
假设我们跟踪一个物体，其状态向量包括位置和速度：
x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ \dot{x}_k \\ \dot{y}_k \end{bmatrix} xk= xkykx˙ky˙k
假设我们只能测量位置，而不能直接测量速度，观测矩阵可以表示为：
H k = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H}_k = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} Hk=[10010000]
假设在时间步长 k k k 的预测状态向量为：
x ^ k ∣ k − 1 = [ 10 15 1 − 1 ] \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} x^k∣k−1= 10151−1
观测矩阵将状态向量映射到测量空间，得到预测测量值：
z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] [ 10 15 1 − 1 ] = [ 10 15 ] \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \end{bmatrix} z^k=Hkx^k∣k−1=[10010000] 10151−1 =[1015]
测量残差和更新
实际测量值可能为：
z k = [ 11 14 ] \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix} zk=[1114]
测量残差（或创新）为：
y k = z k − z ^ k = [ 11 14 ] − [ 10 15 ] = [ 1 − 1 ] \mathbf{y}_k = \mathbf{z}_k - \hat{\mathbf{z}}_k = \begin{bmatrix} 11 \\ 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} yk=zk−z^k=[1114]−[1015]=[1−1]
测量残差用于更新预测状态，使其更接近实际测量值。更新后的状态向量和误差协方差矩阵通过卡尔曼增益 K k \mathbf{K}_k Kk 进行修正：
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k \hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k \mathbf{y}_k x^k∣k=x^k∣k−1+Kkyk
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1 \mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1} Pk∣k=(I−KkHk)Pk∣k−1
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