数字水印 | 混沌逻辑斯谛映射（Chaotic Logistic Map）基本原理及 Python 代码实现

本文主要是介绍数字水印 | 混沌逻辑斯谛映射（Chaotic Logistic Map）基本原理及 Python 代码实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 基本原理

参考：维基百科 - 逻辑斯谛映射

逻辑斯谛映射（Logistic Map）是一种二次多项式的映射递推关系式，是一个由简单非线性方程式产生混沌现象的经典范例。其数学表达为：
$x_{n+1}=\mu x_n(1-x_n)$
其中，参数 $\mu$ 通常取 $(0, 4]$ 区间内的值，因此 $x_n$ 在 $[0, 1]$ 上保持有界。

个人理解：可以把 $x_n$ 看作是变量 $X$ 在第 $n$ 时刻的值，把 $x_{n+1}$ 看作是变量 $X$ 在第 $n + 1$ 时刻的值。根据上述公式可知， $x_{n+1}$ 的值是根据 $x_n$ 的值计算出来的，即当前时刻的值是由上一时刻的值计算而来的，因此被称为递推关系式。

针对 $x_n$ 在 $[0, 1]$ 上保持有界，参考下图：

在这里插入图片描述

个人理解：如果初值 $x_0$ 的值在 $0$ 到 $1$ 之间，那么根据二次函数的表达式， $x_n$ 的值也必定在 $0$ 到 $1$ 之间。因此，我们说 $x_n$ 在 $[0, 1]$ 上保持有界。

参数 $\mu$ 的取值

$0$ 和 $1$ 之间：不论起始数值 $x_0$ 为何， $x_n$ 会越来越少，最后趋近于 $0$ ；
$1$ 和 $2$ 之间：不论起始数值 $x_0$ 为何， $x_n$ 会快速地趋近 $\frac{\mu-1}{\mu}$ ；
$2$ 和 $3$ 之间：经过几次迭代， $x_n$ 会越来越接近 $\frac{\mu-1}{\mu}$ ，而且收敛速度是线性的；
$3$ ： $x_n$ 仍然会越来越接近 $\frac{\mu-1}{\mu}$ ，但收敛速度较为缓慢，而且不是线性的；

个人理解：迭代次数就是指 $x_{n+1}=\mu x_n(1-x_n)$ 计算了多少次，即 $x_{n+1}$ 是初值 $x_0$ 迭代 $n + 1$ 次的结果。

在这里插入图片描述

说明：由于散点图中的点粘在一起，看不出值的变化，因此我画的是折线图。但需要注意的是， $x_{n+1}$ 的取值只会是一个个的点，而不包含图中的直线。

$3$ 和 $1+\sqrt{6}\approx3.45$ 之间：不论起始数值 $x_0$ 为何， $x_n$ 最终会在 $2$ 个值之间持续震荡；
$1+\sqrt{6}\approx3.45$ 和 $\approx3.54$ 之间： $x_n$ 最终会在 $8, 16, 32, ...$ 个值之间持续震荡；
$\approx3.5699$ ：震荡消失，系统进入混沌状态。不论起始数值 $x_0$ 为何，都不会再出现固定周期的震荡；

在这里插入图片描述

可以看出 $\mu$ 越大， $x_{n}$ 的震荡越没有周期性。

2 代码实现

参考：https://www.jianshu.com/p/580e36a34378

控制参数 $\mu$ 的值不变，迭代 $100$ 次，观察这 $100$ 次中 $x_{n}$ 值的变化：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npn = 1  # 控制迭代次数
x = 0.2  # 初值
mu = 2  # 参数μnum = []  # 存放x轴坐标
logistic_num = []  # 存放y轴坐标while n < 100:x = mu * x * (1.0 - x)  # 计算x_{n+1}的值num.append(n)  # 纳入该点的x轴坐标logistic_num.append(x)  # 纳入该点的y轴坐标n = n + 1# 画图
plt.plot(num, logistic_num, linestyle='-', linewidth=1.0)
plt.ylim(0, 1)
plt.yticks(np.arange(0, 1.2, 0.2))plt.savefig('{mu}.jpg'.format(mu=mu), dpi=400, bbox_inches='tight')
plt.show()

前文的两张图就是用这段代码绘制的。

3 分岔图代码实现

参考：https://blog.csdn.net/laplacebh/article/details/104598545

为参数 $\mu$ 设置不同的值，迭代 $1100$ 次，观察 $1000$ 到 $1100$ 次中 $x_{n}$ 值的变化：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npdef logistic_map():mu = np.arange(2, 4, 0.0001)print(mu)  # [2.     2.0001 2.0002 ... 3.9997 3.9998 3.9999]x = 0.2  # 初值t1 = 1000  # 前1000次t2 = 100  # 后100次for i in range(t1 + t2):x = mu * x * (1 - x)if i >= t1:  # 只绘制1000~1100次的结果plt.plot(mu, x, ',k', alpha=0.25)plt.show()logistic_map()

由于我们想要观察的是 $x_n$ 最终收敛或者未收敛的值，因此虽然做了 $1100$ 次的迭代，但是我们只会绘制最后 $100$ 次 $x_n(x_{1000},...,x_{1100})$ 的值。

效果如下图所示：

在这里插入图片描述
个人理解：

当 $\mu$ 在 $2$ 和 $3$ 之间时，由于 $x_n$ 最终会收敛到一个固定的值上，因此迭代 $1000$ 到 $1100$ 次之间的 $x_n$ 值相同，汇聚在了上图中的一个点上。当 $\mu$ 在 $3$ 和 $\approx3.45$ 之间时，由于 $x_n$ 最终会在 $2$ 个值之间震荡，因此汇聚在了上图中的两个点上。