本文主要是介绍矩阵特征值，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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矩阵特征值
编辑
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维 列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或 本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为 矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
- 中文名
- 矩阵特征值 外文名
- matrix eigenvalues 学 科
- 数学
- 领 域
- 线性代数 相关概念
- 特征向量 对 象
- n阶方阵
目录
- 1定义
- 2矩阵特征值和特征向量的概念和计算
- 3特征值与特征向量的求法
- ▪求法
- ▪示例
- 4性质
定义
编辑设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式 Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式 Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
矩阵特征值和特征向量的概念和计算
编辑设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，
称为A的 特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
¦(λ)=|λE-A|=λ+a 1λ+…+a n= 0是一个 n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ 0)称为A的特征根(或特征值 )。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ 0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ 0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ 0的特征 方程组。因为|λ 0E-A|=0，(λ 0E-A)X=θ必存在非零解 
， 
称为A的属于λ 0的 特征向量。所有λ 0的特征向量全体构成了λ 0的特征向量空间。
特征值与特征向量的求法
编辑求法
对于矩阵A，由AX=λ 0X，λ 0EX=AX，得[λ 0E-A]X=θ即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是：
即说明特征根是特征多项式|λ 0E-A| =0的根，由代数基本定理
有n个复根λ 1,λ 2,…,λ n，为A的n个特征根。当特征根λ i(I=1,2,…,n)求出后，(λ iE-A)X=θ是齐次方程，λ i均会使|λ iE-A|=0，(λ iE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λ iE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
示例
求矩阵 
的特征值与特征向量。
解：由特征方程
解得A有2重特征值λ 1=λ 2=-2，有单特征值λ 3=4。
对于特征值λ 1=λ 2=-2，解方程组(-2E-A)x=θ
得同解方程组x 1-x 2+x 3=0，解为x 1=x 2-x 3(x 2,x 3为自由未知量)。分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值λ 1=λ 2=-2的全部特征向量为x=k 1ξ 1+k 2ξ 2(k 1,k 2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数£特征根的 重数。
对于特征值λ 3=4，方程组(4E-A)x=q
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x 3=2得基础解系ξ 3 
，所以A的对于特征值λ 3=4得全部特征向量为x= k 3ξ 3。
性质
编辑性质1：n阶方阵A=(a ij)的所有特征根为λ 1，λ 2，…,λ n(包括重根)，则：
性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的一个特征根，x仍为对应的 特征向量。
性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的 特征向量。
性质4：设λ 1，λ 2，…,λ m是方阵A的互不相同的特征值。x j是属于λ i的特征向量( i=1,2,…,m)，则x 1,x 2,…,x m线性无关，即不相同特征值的特征向量 线性无关 [1] 。
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