数据结构和算法｜堆排序系列问题（一）

本文主要是介绍数据结构和算法｜堆排序系列问题（一）｜堆、建堆和Top-K问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在这里不再描述大顶堆和小顶堆的含义，只剖析原理层面。

主要内容来自：Hello算法

文章目录

1.堆的实现
- 1.1 堆的存储与表示过程
- 1.2 访问堆顶元素
- 1.4元素出堆
2.⭐️建堆
- 2.1 方法一：借助入堆操作实现
- 2.2 ⭐️方法二：通过遍历堆化实现
应用：Top-K问题
- ⭐️方法一：遍历选择
- 方法二：排序
- ⭐️方法三：堆

1.堆的实现

1.1 堆的存储与表示过程

完全二叉树非常适合用数组来进行表示，而堆就是一颗完全二叉树，所以我们可以使用数组来存储堆。也就是说，堆的逻辑结构是一颗完全二叉树，它的物理结构（底层存储）是一个数组。

对于一个给定索引 $i$ ，其左子树和右子树索引分别为 $2 i + 1$ 、 $2 i + 2$ ，其父节点的索引为 $(i - 1) /2$ (向下取整)。

封装索引的映射公式：

//获取左子节点的索引
int left(int i) {return 2 * i + 1;
}
//获取右子节点的索引
int right(int i) {return 2 * i + 2;
}
//获取父节点的索引
int parent(int i) {return (i - 1) / 2;
}

1.2 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根结点，也就是列表的首元素 ```cpp //访问堆顶元素 int peek() { return maxHeap[0]; } ``` ## ⭐️1.3元素入堆该环节非常重要。

对于一个给定元素 val ，

将其添加到堆底。添加到堆底后， val 可能大于堆中其他元素，所以我们需要恢复从出啊如结点到根结点的路径上的各个节点，这个操作就是堆化(heapify)
从入堆结点开始，从底到顶执行堆化。我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

动态流程可以查看文章：3. 元素入堆

我们应该分析一下入堆的时间复杂度，设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O (l o g n)$ 。所以堆化操作的循环论述最多为 $O (l o g n)$
综上，元素入堆操作的时间复杂度为 $O (l o g n)$

void push(int val) {//添加节点minHeap是一个数组maxHeap.push_back(val);//从底至顶堆化siftUp(size() - 1);
}
//从节点i开始，从底至顶堆化操作
void siftUp(int i) {while (true) {//获取节点 i 的父节点int p = parent(i);//当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break;//交换两个结点swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);//循环向上堆化i = p;}
}

再次强调：元素入堆的时间复杂度为 $O (l o g n)$

1.4元素出堆

元素出堆和我们一般想的所谓直接直接弹出不同，因为如果直接弹出，那么我想想要修复堆结构变得极其困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们这样操作出堆：

交换堆顶元素与堆底元素(交换根结点与最右叶子结点)。
交换完成后，将堆底从列表中删除(由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素)。
从根结点开始，从顶至底执行堆化操作(下溯)。

“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

具体流程可以看4. 堆顶元素出堆，流程极为详细。

时间复杂度分析，从顶至底的堆化，很明显时间复杂度仍然是O(logn)。

/* 元素出堆 */
void pop() {/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {

2.⭐️建堆

给定你任意一个列表，我们想要使用其所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

2.1 方法一：借助入堆操作实现

首先我们维护一个空堆，然后依次对每个元素执行“入堆操作”，即现将元素添加至堆的尾部，然后“从底至顶”堆化即可。

至此我们可以维护一个真正的堆了，而且肯定是根结点最先被构建出来。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O (l o g n)$ 时间，所以整个建堆方法的时间复杂度为：
$O (n l o g n)$

2.2 ⭐️方法二：通过遍历堆化实现

这是一个更高效的建堆方法，共分为两步：

将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足；
倒序遍历堆(层序遍历的倒序)，依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”

每当堆化一个结点后，以该节点为根结点的子树就形成了一个合法的子堆。

而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。（之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。）

并且由于叶子结点没有子结点，因此他们天然就是合法的子堆，无须堆化。

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {//将列表元素原封不动添加进堆maxHeap = nums;//堆化出也节点以外的其他所有节点for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {siftDown(i);}
}

时间复杂度分析：

假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) /2$ 。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) /2$
从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $l o g n$

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O (n l o g n)$ 。

但这只是一种粗略的估算，严格来说，我们应该进行详细的计算，基本的思想就是高度较高的节点堆化需要的迭代次数较多，较低节点堆化的迭代次数较少。
我们需要对各层的“节点数量X结点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。
最终的结果是 $O (n)$

应用：Top-K问题

Question：
给定一个长度为n的无序数组nums，请返回数组中最大的k个元素。

⭐️方法一：遍历选择

暴力求解！我们进行 k 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1 、 2 、 ... 、 k$ 大的元素，时间复杂度为 $O (nk)$ 。
当然了，此方法只适用于 $k << n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时：

当 $k = n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

算法步骤如下：

初始化：指定一个变量来记录当前需要考虑的数组的结尾位置。
重复寻找最大值：遍历当前未处理的数组部分，找到最大元素。
交换元素: 将找到的最大元素与当前考虑的数组的最后一个元素交换。
调整考虑范围: 减少考虑数组范围的长度。
重复: 重复以上步骤 𝑘。

vector<int> topKsearch(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();int end = n - 1 //初始化结束索引for (int i = 0; i < k; i++) {int maxIndex = 0;for (int j = 0; j <= end; j++) {if (nums[j] > nums[maxIndex]) maxIndex = j;} //交换最大元素到当前考虑的数组的末尾swap(nums[maxIndex], nums[end]);end--;}
}

方法二：排序

这个思路也比较简单，先对数组进行排序，然后返回最右边的k个元素，时间复杂度为: $O (n l o g n)$
显然，该方法“超额”完成任务了，我们其实只需要找出最大的k个元素即可。

vector<int> topKsort(vector<int>& nums, int k) {sort(nums.begin(), nums.end(), greater<int>()); // 降序排序vector<int> result;for (int i = 0; i < k; i++) {result.push_back(nums[i]);}return result;
}

⭐️方法三：堆

堆天生就适合解决这样的Top-K问题。

初始化一个小顶堆，其顶堆元素最小；
现将数组的前 $k$ 个元素依次入堆，也就是说我们只维护大小为 $k$ 的堆；
从第 $k + 1$ 个元素开始，如果当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
遍历整个nums后，堆中保存的就是最大的k个元素。

具体的实验流程可以看《Hello World》文章:方法三：堆

时间复杂度分析:
我们一共执行n次入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，所以时间复杂度为 $O (n l o g k)$ 。
该方法效率极高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向于 $O (n l o g k)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度也不会超过 $O (n l o g n)$
此外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的 $k$ 个元素的动态更新。

代码如下：

vector<int> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {//初始化一个最小堆priority_queue<int, vector<int>, gereater<int>> heap;//先将前k个元素入堆for (int i = 0; i < k; i++) {heap.push(nums[i]);}//遍历整个数组，维护大小为k的小顶堆for (int i = k; i < nums.size(); i++) {//若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if (nums[i] > heap.top()) {heap.pop();heap.push(nums[i]);}}//将堆中的元素收集到结果像两种vector<int> result;while (!heap.empty()) {result.push_back(heap.top());heap.pop();}return result;
}