高等代数复习:同构定理

2024-05-15 04:12

本文主要是介绍高等代数复习:同构定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

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  • 同构定理

本篇文章适合个人复习翻阅,不建议新手入门使用

同构定理

接下来我们要证明如下几个同构定理
定理(线性映射同构定理)
φ : V → V ′ \varphi:V\to V' φVV 是一个线性映射,则存在一个自然的线性同构
V / ker ⁡ φ ≅ Im ⁡ φ V/\ker \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi V/kerφImφ
定理(群同态基本定理)
σ : G → G ′ \sigma:G\to G' σ:GG 是一个群同态,则存在一个自然的群同构
G / ker ⁡ σ ≅ Im ⁡ σ G/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma G/kerσImσ
定理(环同态基本定理)
σ : R → R ′ \sigma:R\to R' σ:RR 是一个环同态,则存在一个自然的环同构
R / ker ⁡ σ ≅ Im ⁡ σ R/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma R/kerσImσ
定理(模同态基本定理)
σ : M → M ′ \sigma:M\to M' σ:MM 是一个模同态,则存在一个自然的模同构
M / ker ⁡ σ ≅ Im ⁡ σ M/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma M/kerσImσ

这些定理涉及到的概念可以简述如下,首先是关于各类代数结构的概念

  1. 群(group):一个定义了加法的集合,具有结合律,单位元,逆元
  2. 环(ring):一个定义了加法和乘法的集合,关于加法是一个群,关于乘法具有结合律和单位元,乘法对加法还有左、右分配律
  3. 线性空间(linear space or vector space):一个定义了数乘的abel群(即具有交换律的群),数乘定义为从数域和线性空间的笛卡尔积映到该线性空间的映射,其具有结合律,单位元,对加法有左、右分配律
  4. 模(module):一个定义了数乘的abel群,数乘定义为从交换环和模的笛卡尔积映到该模的映射,具有结合律、单位元,对加法有左、右分配律

对于四种不同的代数结构,我们总可以定义一类特殊的子集,其继承了父集的代数结构

  1. 子群:群的子集,具有加法单位元,关于加法封闭
  2. 子环:环的子集,具有加法和乘法单位元,关于加法和乘法封闭
  3. 子空间:线性空间的子集,具有加法单位元,关于加法和数乘封闭
  4. 子模:模的子集,具有加法单位元,关于加法和数乘封闭

然后是这些代数结构上的特殊映射的概念

  1. 群同态:从一个群到另一个群的映射,保持两个群上的加法
  2. 环同态:从一个环到另一个环的映射,保持两个环上的加法和乘法
  3. 线性映射:从一个线性空间到另一个线性空间的映射,保持两个线性空间上的加法和数乘
  4. 模同态:从一个模到另一个模的映射,保持两个模上的加法和数乘

额外地,若这些映射还为双射,则改称“同态(homomorphism)”为“同构(isomorphism)”,例如:群同构,环同构,线性同构,模同构;此时我们也称同构映射的定义域和值域是同构的;

映射的核(kernal)与像(image)

  1. 定义域中被映射映为零的元素构成的集合称为映射的核
  2. 映射所有可能的取值构成的集合称为映射的像

接下来是商集的概念,

  1. 等价关系(equivalence relation):我们称满足自反性,对称性,传递性的关系为一个等价关系,如果集合中的两个元素适合这个等价关系,我们称这两个元素等价
  2. 等价类(equivalence class):在一个等价关系下,集合可被分类,有些元素之间等价,有些不等价,把所有等价的元素分为一类,称为一个等价类;通常记元素 x x x 所在的等价类为 [ x ] [x] [x]
  3. 划分(partition):在一个等价关系下,对集合的任意两个元素,它们所在的等价类要么一样,要么完全不相交,我们称所有等价类是这个集合的一个划分
  4. 商集(quotient set):在一个等价关系下,集合的所有等价类构成的新集合称为商集
  5. 自然映射:从集合到它的商集,把集合的元素映为其所在的等价类的映射,称为自然映射

对四种不同的代数结构,我们定义类似陪集的概念如下,由于群没有加法交换律,所以要分左右两种情形;由于环未必有乘法逆元,所以要定义一个稍弱于子环的结构
定义:陪集和商空间
设线性空间 V V V 和其子空间 V 0 V_0 V0 ,对任意的 v ∈ V v\in V vV,集合 v + V 0 ≜ { v + v 0 ∣ v 0 ∈ V 0 } v+V_0\triangleq \{v+v_0|v_0\in V_0\} v+V0{v+v0v0V0}
称为 v v v V 0 V_0 V0-陪集, ” V V V 的任意两个元素的 V 0 V_0 V0-陪集是否相等“构成一个等价关系,两个 V 0 V_0 V0-陪集要么相等,要么不交;定义所有 V 0 V_0 V0 陪集构成的商集为 V V V 的商空间,记为 V / V 0 V/V_0 V/V0 ,其关于如下的加法和数乘成为一个线性空间
( v 1 + V 0 ) + ( v 2 + V 0 ) ≜ ( v 1 + v 2 ) + V 0 , (v_1+V_0)+(v_2+V_0)\triangleq (v_1+v_2)+V_0, (v1+V0)+(v2+V0)(v1+v2)+V0, k ⋅ ( v 1 + V 0 ) ≜ k ⋅ v 1 + V 0 k\cdot(v_1+V_0)\triangleq k\cdot v_1+V_0 k(v1+V0)kv1+V0
定义:左、右陪集,正规子群,商空间
设群 G G G 和其子群 G 0 G_0 G0 ,对任意的 a ∈ G a\in G aG,集合
a + G 0 ≜ { a + g 0 ∣ g 0 ∈ G 0 } a+G_0\triangleq\{a+g_0|g_0\in G_0\} a+G0{a+g0g0G0}

称为 a a a G 0 G_0 G0 左陪集,集合
G 0 + a ≜ { g 0 + a ∣ g 0 ∈ G 0 } G_0+a\triangleq \{g_0+a|g_0\in G_0\} G0+a{g0+ag0G0}

称为 a a a G 0 G_0 G0 右陪集;若对任意 a ∈ G a\in G aG,有
a + G 0 = G 0 + a a+G_0=G_0+a a+G0=G0+a

则称 G 0 G_0 G0 G G G 的正规子群;现假设 G 0 G_0 G0 是正规子群,那么 ” G G G 的任意两个元素的 G 0 G_0 G0-陪集是否相等“构成一个等价关系,两个 G 0 G_0 G0-陪集要么相等,要么不交;定义所有 G 0 G_0 G0 陪集构成的商集为 G G G 的商群,记为 G / G 0 G/G_0 G/G0 ,其关于如下的加法成为一个群
( a + G 0 ) + ( b + G 0 ) ≜ ( a + b ) + G 0 (a+G_0)+(b+G_0)\triangleq (a+b)+G_0 (a+G0)+(b+G0)(a+b)+G0

定义:理想,陪集,商环
设环 R R R 和其子集 I I I,若 I I I 关于加法是 R R R 的子群,关于乘法有左、右吸收性,则称 I I I R R R 的一个理想(ideal);对任意的 r ∈ R r\in R rR,集合
r + I ≜ { r + a ∣ a ∈ I } r+ I\triangleq\{r+a|a\in I\} r+I{r+aaI}

称为 a a a I I I 陪集; ” R R R 的任意两个元素的 I I I-陪集是否相等“构成一个等价关系,两个 I I I-陪集要么相等,要么不交;定义所有 I I I 陪集构成的商集为 V V V 的商环,记为 R / I R/I R/I ,其关于如下的加法和乘法成为一个环
( r 1 + I ) + ( r 2 + I ) ≜ ( r 1 + r 2 ) + I (r_1+I)+(r_2+I)\triangleq(r_1+r_2)+I (r1+I)+(r2+I)(r1+r2)+I

( r 1 + I ) ( r 2 + I ) ≜ r 1 r 2 + I (r_1+I)(r_2+I)\triangleq r_1r_2+I (r1+I)(r2+I)r1r2+I

定义:陪集,商模
设模 M M M 和其子模 M 0 M_0 M0 ,对任意的 m ∈ M m\in M mM,集合 m + M 0 ≜ { m + M 0 ∣ m 0 ∈ M 0 } m+M_0\triangleq \{m+M_0|m_0\in M_0\} m+M0{m+M0m0M0}
称为 m m m M 0 M_0 M0-陪集, ” M M M 的任意两个元素的 M 0 M_0 M0-陪集是否相等“构成一个等价关系,两个 M 0 M_0 M0-陪集要么相等,要么不交;定义所有 M 0 M_0 M0 陪集构成的商集为 M M M 的商模,记为 M / M 0 M/M_0 M/M0 ,其关于如下的加法和数乘成为一个模
( m 1 + M 0 ) + ( m 2 + M 0 ) ≜ ( m 1 + m 2 ) + M 0 (m_1+M_0)+(m_2+M_0)\triangleq(m_1+m_2)+M_0 (m1+M0)+(m2+M0)(m1+m2)+M0

a ( m + M 0 ) ≜ a m + M 0 a(m+M_0)\triangleq am+M_0 a(m+M0)am+M0

为证明同构定理,先要预备几个结论,按定义容易证明如下命题

命题1:自然映射是满射

命题2:映射的核是定义域的子群(理想、子空间、子模)

命题3:设映射 f ∘ g = h f\circ g=h fg=h,若 g , h g,h g,h 均为满射,则 f f f 一定也为满射

下面叙述这四个定理的证明,证明思路大体类似,先构造目标映射,然后证明它是满射,再证明它是单射,最后证明它是同态

群同态基本定理的证明
设自然映射
N : G → G / ker ⁡ σ , a ↦ a + ker ⁡ σ N:G\to G/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma N:GG/kerσ,aa+kerσ

定义映射 ψ : G / ker ⁡ σ → Im ⁡ σ , ψ ( N a ) = σ ( a ) \psi:G/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a) ψ:G/kerσImσ,ψ(Na)=σ(a)
注意到 σ : G → Im ⁡ σ , N \sigma:G\to \operatorname{Im}{\sigma},N σ:GImσ,N 均为满射,由命题3得到 ψ \psi ψ 也是满射

σ ( a ) = 0 \sigma(a)=0 σ(a)=0,则 a ∈ ker ⁡ σ a\in\ker\sigma akerσ ,从而 N ( a ) = 0 N(a)=0 N(a)=0 ψ ( N a ) = ψ ( 0 ) = 0 \psi(Na)=\psi(0)=0 ψ(Na)=ψ(0)=0 ,即 ψ \psi ψ 是单射

ψ \psi ψ 是群同态
ψ ( N a 1 + N a 2 ) = ψ ( N ( a 1 + a 2 ) ) = σ ( a 1 + a 2 ) = σ ( a 1 ) + σ ( a 2 ) = ψ ( N a 1 ) + ψ ( N a 2 ) \psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2) ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)

ψ \psi ψ 是群同构

环同态基本定理的证明
设自然映射
N : R → R / ker ⁡ σ , a ↦ a + ker ⁡ σ N:R\to R/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma N:RR/kerσ,aa+kerσ

定义映射 ψ : R / ker ⁡ σ → Im ⁡ σ , ψ ( N a ) = σ ( a ) \psi:R/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a) ψ:R/kerσImσ,ψ(Na)=σ(a)
注意到 σ : R → Im ⁡ σ , N \sigma:R\to \operatorname{Im}{\sigma},N σ:RImσ,N 均为满射,由命题3得到 ψ \psi ψ 也是满射

σ ( a ) = 0 \sigma(a)=0 σ(a)=0,则 a ∈ ker ⁡ σ a\in\ker\sigma akerσ ,从而 N ( a ) = 0 N(a)=0 N(a)=0 ψ ( N a ) = ψ ( 0 ) = 0 \psi(Na)=\psi(0)=0 ψ(Na)=ψ(0)=0 ,即 ψ \psi ψ 是单射

ψ \psi ψ 是环同态
ψ ( N a 1 + N a 2 ) = ψ ( N ( a 1 + a 2 ) ) = σ ( a 1 + a 2 ) = σ ( a 1 ) + σ ( a 2 ) = ψ ( N a 1 ) + ψ ( N a 2 ) \psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2) ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)

ψ ( N a 1 N a 2 ) = ψ ( N ( a 1 a 2 ) ) = σ ( a 1 a 2 ) = σ ( a 1 ) σ ( a 2 ) = ψ ( N a 1 ) ψ ( N a 2 ) \psi(Na_1Na_2)=\psi(N(a_1a_2))=\sigma(a_1a_2)=\sigma(a_1)\sigma(a_2)=\psi(Na_1)\psi(Na_2) ψ(Na1Na2)=ψ(N(a1a2))=σ(a1a2)=σ(a1)σ(a2)=ψ(Na1)ψ(Na2)

ψ \psi ψ 是环同构

模同态基本定理的证明
设自然映射
N : M → M / ker ⁡ σ , a ↦ a + ker ⁡ σ N:M\to M/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma N:MM/kerσ,aa+kerσ

定义映射 ψ : M / ker ⁡ σ → Im ⁡ σ , ψ ( N a ) = σ ( a ) \psi:M/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a) ψ:M/kerσImσ,ψ(Na)=σ(a)
注意到 σ : M → Im ⁡ σ , N \sigma:M\to \operatorname{Im}{\sigma},N σ:MImσ,N 均为满射,由命题3得到 ψ \psi ψ 也是满射

σ ( a ) = 0 \sigma(a)=0 σ(a)=0,则 a ∈ ker ⁡ σ a\in\ker\sigma akerσ ,从而 N ( a ) = 0 N(a)=0 N(a)=0 ψ ( N a ) = ψ ( 0 ) = 0 \psi(Na)=\psi(0)=0 ψ(Na)=ψ(0)=0 ,即 ψ \psi ψ 是单射

ψ \psi ψ 是模同态
ψ ( N a 1 + N a 2 ) = ψ ( N ( a 1 + a 2 ) ) = σ ( a 1 + a 2 ) = σ ( a 1 ) + σ ( a 2 ) = ψ ( N a 1 ) + ψ ( N a 2 ) \psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2) ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)

ψ ( k N a ) = ψ ( N ( k a ) ) = σ ( k a ) = k σ ( a ) = k ψ ( N a ) \psi(kNa)=\psi(N(ka))=\sigma(ka)=k\sigma(a)=k\psi(Na) ψ(kNa)=ψ(N(ka))=σ(ka)=(a)=kψ(Na)

ψ \psi ψ 是模同构

线性映射同构定理的证明
设自然映射
N : V → V / ker ⁡ φ , a ↦ a + ker ⁡ φ N:V\to V/\ker \varphi,a\mapsto a+\ker\varphi N:VV/kerφ,aa+kerφ

定义映射 ψ : V / ker ⁡ v a r p h i → Im ⁡ φ , ψ ( N a ) = φ ( a ) \psi:V/\ker\\varphi\to\operatorname{Im}{\varphi},\psi(Na)=\varphi(a) ψ:V/kervarphiImφ,ψ(Na)=φ(a)
注意到 φ : V → Im ⁡ φ , N \varphi:V\to \operatorname{Im}{\varphi},N φ:VImφ,N 均为满射,由命题3得到 ψ \psi ψ 也是满射

φ ( a ) = 0 \varphi(a)=0 φ(a)=0,则 a ∈ ker ⁡ φ a\in\ker\varphi akerφ ,从而 N ( a ) = 0 N(a)=0 N(a)=0 ψ ( N a ) = ψ ( 0 ) = 0 \psi(Na)=\psi(0)=0 ψ(Na)=ψ(0)=0 ,即 ψ \psi ψ 是单射

ψ \psi ψ 是线性映射
ψ ( N a 1 + N a 2 ) = ψ ( N ( a 1 + a 2 ) ) = φ ( a 1 + a 2 ) = φ ( a 1 ) + φ ( a 2 ) = ψ ( N a 1 ) + ψ ( N a 2 ) \psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2) ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=φ(a1+a2)=φ(a1)+φ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)

ψ ( k N a ) = ψ ( N ( k a ) ) = φ ( k a ) = k φ ( a ) = k ψ ( N a ) \psi(kNa)=\psi(N(ka))=\varphi(ka)=k\varphi(a)=k\psi(Na) ψ(kNa)=ψ(N(ka))=φ(ka)=kφ(a)=kψ(Na)

ψ \psi ψ 是线性同构

参考书:《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著

这篇关于高等代数复习:同构定理的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/990775

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