本文主要是介绍【抽代复习笔记】28-群（二十二）：四道子群例题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
例1：证明，循环群的子群是循环群。
证：设G = (a)，H ≤ G。
（1）若H = {e}，则H是一阶循环群；
（2）设H至少包含2个元素，即设H = {...,a^(-k),a^(-j),a^(-i),a^0,a^i,a^j,a^k,...}，
其中a^i是H中正指数最小的元素，0＜i＜j＜k，
下证a^i是H的生成元：
对任意的a^t∈H(t∈Z)，存在q∈Z，使得t = qi + r，0 ≤ r＜i，
a^t = a^(qi + r) = a^(qi) o a^r，从而a^r = a^t o [a^(iq)]^(-1) = a^t o (a^i)^(-q)，
因为a^t,a^i∈H，所以a^r = a^t o (a^i)^(-q)∈H，
又0 ≤ r＜i，考虑到i是H中的最小正指数，所以r = 0，
即a^t = (a^i)^q，因此a^i是H中的生成元，即H = (a^i)是循环子群。
例2：找出模12的剩余类加群Z12的所有子群。
解：如果a与12互素，那么[a]也是Z12的生成元，如果[a]是生成元，那么[12-a]也是，
因此，
([0]) = {[0]} ≤ Z12，
([1]) = ([5]) = ([7]) = ([11]) ≤ Z12，
([2]) = ([10]) = {[0],[2],[4],[6],[8],[10]} ≤ Z12，
([3]) = ([9]) = {[0],[3],[6],[9]} ≤ Z12，
([4]) = ([8]) = {[0],[4],[8]} ≤ Z12，
([6]) = {[0],[6]} ≤ Z12。
例3：找出S3的所有子群。
解：{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)},{(1),(123),(132)},S3，用子群的第一判定定理可证明，
例如：对{(1),(123),(132)}，首先{(1),(123),(132)}是S3的非空子集；
其次，(1)(123) = (123)∈{(1),(123),(132)}，(1)(132) = (132)∈{(1),(123),(132)}，(123)(132) = (1)∈{(1),(123),(132)}，即对任意的a,b∈{(1),(123),(132)}，均有a o b∈{(1),(123),(132)}，这满足了子群第一判定定理的第一条；
再者，(1)的逆元是(1)本身，而(123)和(132)互为逆元，均属于{(1),(123),(132)}，这边满足了子群第一判定定理的第二条。
所以{(1),(123),(132)} ≤ S3。
其它可类似证明。
例4：证明，子群的交仍是子群。
证：设(G,o)是一个群，H ≤ G，K ≤ G，则e∈H且e∈K，
因此e∈H∩K，所以H∩K ≠ ∅，
对任意的a,b∈H∩K，因为H ≤ G，K ≤ G，
所以a o b^(-1)∈H，a o b^(-1)∈K，所以a o b^(-1)∈H∩K，
从而由子群的第二判定定理，可得出H∩K ≤ G。
（待续……）
这篇关于【抽代复习笔记】28-群（二十二）：四道子群例题的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
