例1：证明，循环群的子群是循环群。 证：设G = (a)，H ≤ G。 （1）若H = {e}，则H是一阶循环群； （2）设H至少包含2个元素，即设H = {...,a^(-k),a^(-j),a^(-i),a^0,a^i,a^j,a^k,...}， 其中a^i是H中正指数最小的元素，0＜i＜j＜k， 下证a^i是H的生成元： 对任意的a^t∈H(t∈Z)，存在q∈Z，使得t = qi

D:\MathTool\gaptool>Subgroup 11 0 100 置换群S_11的子群: 0,1->[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,10]=>GAP[2,1]: 0,3->[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,9]=>GAP[3,1]: 0,9->[1,2,3,4,

隐藏子群问题和Shor算法的新视角 隐藏子群问题是指给定一个群和一个函数,该函数对于群的一个子群是常数,并且对于子群的任何两个不同的左陪集有不同的值,问题是找到这个子群.HSP是许多量子算法的基础,其中最著名的是Shor的算法,它可以用来分解大整数和计算离散对数,这直接威胁到RSA和ECC等基于这些数学问题难度的公钥加密系统的安全性. 隐藏子群问题 隐藏子群问题(Hidden

正规子群是对群的所有内自同构都保持不变的子群。 特征子群是对群的所有自同构都保持不变的子群。

Lagrange定理：若有限群的子群的阶都是大群阶的因子。（反之不成立） 但 是 但是 但是 某群的阶数为a,对数a进行素分解： 例如： |G|=100 subgroup 100 = 2 2 ⋅ 5 2 100=2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } 100=22⋅52 must have subgroup of order: 1 ,2 ,4 and 25 order 4 2

sylow定理 ∣ G ∣ = p l ∗ m , p 是 素 数 ， ( p , m ) = 1 |G|=p^{l}*m,p是素数，(p,m)=1 ∣G∣=pl∗m,p是素数，(p,m)=1 1. 整 数 k ≤ l , ∃ 所 有 的 p k 阶 子 群 , 并 且 将 p l 阶 群 称 为 s y l o w − p − 子 群 整数k\leq l,\exists 所有的p^{k}阶