例1：证明，循环群的子群是循环群。 证：设G = (a)，H ≤ G。 （1）若H = {e}，则H是一阶循环群； （2）设H至少包含2个元素，即设H = {...,a^(-k),a^(-j),a^(-i),a^0,a^i,a^j,a^k,...}， 其中a^i是H中正指数最小的元素，0＜i＜j＜k， 下证a^i是H的生成元： 对任意的a^t∈H(t∈Z)，存在q∈Z，使得t = qi

例3：证明，群(Z,+)为循环群（即：全体整数集Z关于数的加法作成循环群）。 证：1是整数，所以1∈Z； ①当n = 0时，1^n = 1^0 = 0（0个1相加，结果是0）； ②当n＞0时，n = 1+1+...+1(n个1相加) = 1^n； ③当n＜0时，n = (-1)+(-1)+...+(-1)(-n个-1相加) = 1^(-1) + 1^(-1) + ... +1^(-1) =

定义： ①在Sn中，能够表示为奇数多个对换乘积的置换称为“奇置换”，能够表示为偶数多个对换乘积的置换称为“偶置换”； ②所有偶置换的集合记为An。   例1：（1）计算S1和S2中奇、偶置换的数目； （2）计算S3中奇偶置换的数目。 解：（1）S2 = {(1),(12)}，其中(12)是奇置换，(1) = (12)(12)是偶置换，所以S2中奇偶置换各自的数目均为1个； （2）S3

引理：考虑等边三角形123—— 这个等边三角形的对称性可用(1),(12),(13),(23),(123),(132)表示，其中： (1)表示这个等边三角形绕着其中心点旋转360°/720°/.../360°×n，得到的图形与原图形完全重合的旋转对称变换； (12)表示这个等边三角形绕过点3、垂直于边12的对称轴翻转180°/540°/.../180°+360°×n，得到的图形与原图形相

关于运算表的一些性质： 假设G是一个有限集合，o是定义在G上的映射，则 ①群公理1成立＜＝＞运算表中所有元素都属于G； ②交换律成立＜＝＞运算表中的元素关于主对角线对称； ③群公理4(存在单位元)成立＜＝＞运算表中存在一行（或者一列）元素与顶行（或者左列）元素完全一致； ④群公理5(存在逆元)成立＜＝＞运算表的某个元素为单位元（单位元所在位置的行元素及列元素互为逆元）； ⑤群公理3’(