【抽代复习笔记】12-群(六):群与运算表、群与同态的一些关系

2024-04-20 19:20

本文主要是介绍【抽代复习笔记】12-群(六):群与运算表、群与同态的一些关系,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

关于运算表的一些性质:

假设G是一个有限集合,o是定义在G上的映射,则

①群公理1成立<=>运算表中所有元素都属于G;

②交换律成立<=>运算表中的元素关于主对角线对称;

③群公理4(存在单位元)成立<=>运算表中存在一行(或者一列)元素与顶行(或者左列)元素完全一致;

④群公理5(存在逆元)成立<=>运算表的某个元素为单位元(单位元所在位置的行元素及列元素互为逆元);

⑤群公理3’(适合消去律)成立<=>运算表中每一行(列)中各元素互异。

 

定理21:设(G,o)是一个群,(G1,o1)是一个代数系统,若G∼G1(G与G1同态),则(G1,o1)也是一个群。

证:①因为(G1,o1)是一个代数系统,因此o1是G1上的映射,即o1适合封闭性,因此满足群公理第一条;

②因为(G,o)是一个群,因此o适合结合律,又G∼G1,利用同态映射的性质(详见第04篇笔记)可知o1也适合结合律,因此也满足群公理的第二条;

③因为G∼G1,因此存在从G到G1的满同态映射f,假设e是群(G,o)的单位元,那么对于任意的a∈G,都有e o a = a,

因为f是满射,因此对于任意的b∈G1,都存在a∈G,使得f(a) = b,

根据同态映射的定义,f(e o a) = f(e) o1 f(a) = f(a),

所以f(e)即是G1中的单位元,因此也满足了群公理的第四条;

④对于上式中的f(a),因为a∈G,而(G,o)是一个群,因此存在a的逆元a1,

由③知f(e)是G1的单位元,根据同态映射的定义,我们可得:f(e) = f(a1 o a) = f(a1) o1 f(a),

因此f(a1)是f(a)的逆元,因此也满足了群公理的第五条。

因此根据群的第二定义,G1关于o1做成群。

 

推论(定理22):设f是从G到G1的同态映射,那么G的单位元e在f下的像f(e)是G1的单位元;且对任意的a∈G,a的逆元a1在f下的像f(a1),是a在f下的像f(a)的逆元。

 

例:令G={0,1,2},G上关于o的运算表为:

o012
0012
1120
2201

证明G关于o作成一个有限交换群。

证:①先证是一个群——

(Z,+)表示整数加法群(可用群的第二定义证明,整数加法满足封闭性、适合结合律、单位元是0、逆元是每个元的相反数,因此(Z,+)是一个群),

定义f(x):当x被3整除余数为0时,f(x) = 0;当x被3整除余数为1时,f(x) = 1;当x被3整除余数为2时,f(x) = 2。

则f为从Z到G的一个满射,下面证明它是一个同态映射:

(1)当x,y都是3的倍数时,x+y也是3的倍数,三者被3整除余数均为0,

所以f(x) = f(y) = f(x+y) = 0,由运算表知f(x) o f(y) = 0 o 0 = 0,

因此有f(x+y) = f(x) o f(y);

(2)当x,y被3整除,余数均为1时,x+y被3整除,余数为2,此时f(x+y) = 2,f(x) = f(y) = 1,

由运算表知f(x) o f(y) = 1 o 1 = 2,因此也有f(x+y) = f(x) o f(y);

(3)当x,y被3整除,余数均为2时,x+y被3整除,余数为1,此时f(x+y) = 1,f(x) = f(y) = 2,

由运算表知f(x) o f(y) = 2 o 2 = 1,因此也有f(x+y) = f(x) o f(y);

……

(可以用同样的方法证明当x,y被3整除、余数不相等时的各种情况)

最终可得,不管x,y为任意的整数,都有f(x+y) = f(x) o f(y),所以f是从Z到G的一个同态映射。

从而Z∼G,因此由定理21知,(G,o)也是一个群。

②再证这是一个交换群——

可以利用笔记开头列出的关于运算表的一些性质,从本题的运算表可以看出表中所有元素是关于主对角线对称的,因此根据开头运算表的第②条性质, 可知运算o适合交换律。

综上所述,(G,o)是一个交换群,又因G中元素是有限的,因此(G,o)是一个有限交换群。

 

注:定理21的逆定理不成立,也就是说“设(G,o)是一个代数系统,(G1,o1)是一个群,若G∼G1(G与G1同态),则(G,o)也是一个群”这个命题不成立。

例:(2Z,×)是偶数乘法代数系统,({e},o)是单位元群,

令f为从2Z到{e}的映射,即任意a∈2Z,都有f(a) = e,显然f是一个满射,

其次,对任意的a,b∈2Z,都有f(a×b) = e,f(a) o f(b) = e o e = e,

即f(a×b) = f(a) o f(b),因此f也是一个同态映射,所以f是从2Z到{e}的满同态映射,从而2Z∼{e},

但是2Z中不存在单位元,也就是不存在e = 2k(k∈Z)∈2Z,使得对任意a∈2Z,都有e×a = a,

所以不满足群公理的第4条,因此(2Z,×)不是一个群。

 

补充:假设f是从G到G1的一个同态映射,对任意a∈G,f(a)∈G1是a在f下的像,那么a与f(a)的阶是不是一定相同?

若G≅G1(G同构于G1),则一定有|a| = |f(a)|;

若G∼G1(G同态于G1),则不一定|a| = |f(a)|。

 

(待续……)

 

 

 

 

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