本文主要是介绍【抽代复习笔记】22-群（十六）：模n的剩余类加群，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
例3：证明，群(Z,+)为循环群（即：全体整数集Z关于数的加法作成循环群）。
证：1是整数，所以1∈Z；
①当n = 0时，1^n = 1^0 = 0（0个1相加，结果是0）；
②当n＞0时，n = 1+1+...+1(n个1相加) = 1^n；
③当n＜0时，n = (-1)+(-1)+...+(-1)(-n个-1相加) = 1^(-1) + 1^(-1) + ... +1^(-1) = [1^(-1)]^(-n) = 1^n = (-1)^(-n)。
综上，对任意的n∈Z，都有1^n = n，所以(Z,+)是一个循环群，其一个生成元为1；同理可证-1也是其一个生成元。
例4：在模5的剩余类集合Z5上定义：对于任意的[a],[b]∈Z5，有[a]+[b] = [a+b]，则证(Z5,+)是一个循环群。（[a]表示被5整除后余数为a的数的集合）
证：（1）先证(Z5,+)是一个群：
①对任意的[a],[b]∈Z5，都有[a]+[b] = [a+b]∈Z5，所以满足了群公理的第一条封闭性；
②对任意的[a],[b],[c]∈Z5，有([a]+[b])+[c] = [a+b]+[c] = [a+b+c]，[a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c] = [a+b+c]，所以([a]+[b])+[c] = [a]+([b]+[c])，因此适合结合律，即满足了群公理的第二条结合律；
③对于[0]∈Z5以及任意的[a]∈Z5，都有[0]+[a] = [0+a] = [a]，因此[0]是Z5中的单位元，因此也满足了群公理的第四条；
④对于任意的[a]∈Z5，都有[-a]∈Z5，使得[a]+[-a] = [a-a] = [0]，所以[a]与[-a]互为逆元，因此也满足了群公理的第五条。
综上，根据群的第二判定定理，我们可以判断(Z5,+)是一个群。
（2）下证(Z5,+)是一个循环群：
对于[1]∈Z5，以及任意的[a]∈Z5，
①当a = 0时，[a] = [1]^0 = [0](0个[0]相加，结果是0)；
②当a＞0时，[a] = [1]+[1]+...+[1] = [1]^a；
③当a＜0时，[a] = [-1]+[-1]+...+[-1](-a个[-1]相加) = [-1]^(-a) = [1^(-1)]^(-a) = [1]^a.
综上，对任意的[a]∈Z5，都有[a] = [1]^a。
所以(Z5,+)是一个循环群，其一个生成元为[1]。
同理可证，[2],[3],[4]也是(Z5,+)的生成元（因为[2]+[2]+[2] = [2]^3 = [6] = [1]，[3]+[3] = [3]^2 = [6] = [1]，[4]+[4]+[4]+[4] = [4]^4 = [16] = [1]）。
将上述例子中的5换成n，我们将(Zn,+)称为“模n的剩余类加群”。
（待续……）
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