Sherman-Morrison-Woodbury formula 证明

本文主要是介绍Sherman-Morrison-Woodbury formula 证明，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 公式

$$M=I-u{v}^T\Rightarrow M^{-1}=I+\frac{u{v}^T}{1-v^{T}u}\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. 证明

• 定义矩阵E表示如下：
  $$E=\left[\begin{array}{ccc}I& & u\\ & & \\ v^T& & 1\end{array}\right],D=1-v^{T}u\text{\hspace{1em}(2)}$$
  我们想求$E^{-1}$，可以通过增广矩阵，进行行变换得到，
• 第一种方法是：将第一行乘以$v^T$后加到第二行中.
  $$\left[\begin{array}{ccc}I& & 0\\ & & \\ -v^T& & 1\end{array}\right]E=\left[\begin{array}{ccc}I& & u\\ & & \\ 0& & D\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
  $$E^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}I& & u\\ & & \\ 0& & D\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}I& & 0\\ & & \\ -v^T& & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}I+u{D}^{-1}{v}^T& & -u{D}^{-1}\\ & & \\ -D^{-1}{v}^T& & D^{-1}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
• 第二种方法是：将第二行乘以$u$后加到第一行中.
  $$\left[\begin{array}{ccc}I& & -u\\ & & \\ 0& & 1\end{array}\right]E=\left[\begin{array}{ccc}I-u{v}^T& & 0\\ & & \\ v^T& & 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
  $$E^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}I-u{v}^T& & 0\\ & & \\ v^T& & 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}I& & -u\\ & & \\ 0& & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{M}^{-1}& & -M^{-1}u\\ & & \\ -v^T{M}^{-1}& & 1+v^T{M}^{-1}u\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
• 由公式4,6 可得，两个$E^{-1}$相等,$M=I-u{v}^T$
  $$\left[\begin{array}{ccc}I+u{D}^{-1}{v}^T& & -u{D}^{-1}\\ & & \\ -D^{-1}{v}^T& & D^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{M}^{-1}& & -M^{-1}u\\ & & \\ -v^T{M}^{-1}& & 1+v^T{M}^{-1}u\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
• 由第一个行，第一列可得如下
  $$M^{-1}=I+u{D}^{-1}{v}^T=I+\frac{u{v}^T}{1-v^{T}u}\text{\hspace{1em}(8)}$$
• 结论：
  $$M=I-u{v}^T\Rightarrow M^{-1}=I+\frac{u{v}^T}{1-v^{T}u}\text{\hspace{1em}(9)}$$

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