漫步线性代数四——矩阵符号和矩阵乘法

本文主要是介绍漫步线性代数四——矩阵符号和矩阵乘法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

对于 $3\times 3$ 的例子，我们能够写出所有的公式。可以列出消去步骤，一个方程减去另一个方程的倍数达到三角矩阵的形式。对于一个大的系统，这种跟踪消去的步骤太长了，所以我们需要更加简洁的记录方式。

我们现在引进矩阵符号来描述开始的系统，用矩阵乘法来描述计算步骤会更简单。注意三种不同类型的量都出现在例子中：

N i n e c o e f f i c i e n t s T h r e e u n k n o w n s T h r e e r i g h t - h a n d s i d e s 2 u 4 u - 2 u + - + v 6 v 7 v + + w 2 w = = = 5 - 2 9 (1)

$\begin{equation} \begin{array}{lccccccc} {\rm{Nine\ coefficients\quad}}&2u&+&v&+&w&=&5\\ {\rm{Three\ unknowns\quad}}&4u&-&6v& & &=&-2\tag1\\ {\rm{Three\ right-hand\ sides\quad}}&-2u&+&7v&+&2w&=&9 \end{array} \end{equation}$
右边是列向量

b $b$ 。左边是未知量

u,v,w $u,v,w$ 。另外，左边有九个系数(其中一个碰巧是零)。自然地，我们用一个向量来表示三个未知量：

T h e u n k n o w n i s x = ⎡ ⎣ ⎢ u v w ⎤ ⎦ ⎥ T h e s o l u t i o n i s x = ⎡ ⎣ ⎢ 112 ⎤ ⎦ ⎥

${\rm The\ unknown\ is\ }x= \begin{bmatrix} u\\v\\w \end{bmatrix} \quad {\rm The\ solution\ is\ }x= \begin{bmatrix} 1\\1\\2 \end{bmatrix}$
九个系数分为三行和三列，得到

3×3 $3\times 3$ 的矩阵：

C o e f f i c i e n t m a t r i x A = ⎡ ⎣ ⎢ 24 - 2 1 - 6 7 102 ⎤ ⎦ ⎥

${\rm Coefficient\ matrix\quad }A= \begin{bmatrix} 2&1&1\\4&-6&0\\-2&7&2 \end{bmatrix}$

A $A$ 是一个方阵，因为方程个数等于未知量的个数。如果

n $n$ 个方程有

n $n$ 个未知量，那么我们有

n×n $n\times n$ 矩阵。更一般地，可能

m $m$ 个方程有

n $n$ 个未知量。那么

A $A$ 是

m $m$ 行

n $n$ 列的长方形。它将是一个

m×n $m\times n$ 矩阵。

矩阵互相相加，或乘以某个常数值，每一次执行一列的时候，效果和向量完全一样。事实上我们可以将向量看做矩阵的特殊情况；他们是只有一列的矩阵。和向量一样，如果两个矩阵形状相同时，他们才能执行加法：

A d d i t o n A + B ⎡ ⎣ ⎢ 230104 ⎤ ⎦ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 3 1 212 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 301316 ⎤ ⎦ ⎥

${\rm Additon\ A+B\quad} \begin{bmatrix} 2&1\\3&0\\0&4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&2\\-3&1\\1&2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3&3\\0&1\\1&6 \end{bmatrix}$

M u l t i p l i c a t i o n 2 A ⎡ ⎣ ⎢ 230104 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 460208 ⎤ ⎦ ⎥

${\rm Multiplication\ 2A\quad} \begin{bmatrix} 2&1\\3&0\\0&4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4&2\\6&0\\0&8 \end{bmatrix}$

矩阵和向量相乘

我们想用三个未知量 $u,v,w$ 重写方程，得到简化的矩阵形式 $Ax=b$ 。全写出来就是，矩阵乘以向量等于向量：

M a t r i x f o r m A x = b ⎡ ⎣ ⎢ 24 - 2 1 - 6 7 102 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ u v w ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 5 - 2 9 ⎤ ⎦ ⎥ (2)

$\begin{equation} {\rm Matrix\ form\ Ax=b\quad} \begin{bmatrix} 2&1&1\\4&-6&0\\-2&7&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v\\w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5\\-2\\9 \end{bmatrix}\tag2 \end{equation}$
右边

b $b$ 是非齐次项列向量。左边是

A×x $A\times x$ 。我们准确的定义这个乘法以便于它能够重现最初的系统。

Ax $Ax$ 的第一项来自

A $A$ 的第一行乘以列向量

x $x$ ；

R o w t i m e s c o l u m n [211] ⎡ ⎣ ⎢ u v w ⎤ ⎦ ⎥ = [2 u + v + w] = [5] (3)

$\begin{equation} {\rm Row\ times\ column\quad} \begin{bmatrix} 2&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v\\w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2u+v+w \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}\tag3 \end{equation}$
乘积

Ax $Ax$ 的第二部分是

4u−6v+0w $4u-6v+0w$ ，来自于

A $A$ 的第二行。矩阵方程

Ax=b $Ax=b$ 等价于方程(1)中三个联立的方程组。

行乘列是所有矩阵乘法的基础。两个向量相乘得到一个数。这个数称为两个向量的内积。换句话说， $1\times n$ 矩阵(行向量)和 $n\times 1$ 矩阵(列向量)相乘得到一个 $1\times 1$ 矩阵：

I n n e r p r o d u c t [211] ⎡ ⎣ ⎢ 112 ⎤ ⎦ ⎥ = [2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2] = [5]

${\rm Inner\ product\quad} \begin{bmatrix} 2&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1\\2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5\end{bmatrix}$
这表明给出的解

x=(1,1,2) $x=(1,1,2)$ 满足第一个方程。

矩阵 $A$ 和一个向量 $x$ 相乘有两种方法。一种方法是一次乘以一行， $A$ 的每行和 $x$ 结合给出 $Ax$ 的一部分。当 $A$ 有三行是，存在三个内积：

A x b y r o w s ⎡ ⎣ ⎢ 131101614 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 250 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 6 \cdot 0 3 \cdot 2 + 0 \cdot 5 + 3 \cdot 0 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 4 \cdot 0 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 767 ⎤ ⎦ ⎥ (4)

$\begin{equation} {\rm Ax\ by\ rows\quad} \begin{bmatrix} 1&1&6\\3&0&1\\1&1&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\5\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\cdot 2+1\cdot 5+6\cdot 0\\ 3\cdot 2+0\cdot 5+3\cdot 0\\ 1\cdot 2+1\cdot 5+4\cdot 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}7\\6\\7\end{bmatrix}\tag4 \end{equation}$
通常这就是

Ax $Ax$ 的解释，但是第二种方法同样重要。事实上，它更重要！它是一次乘以一列。

Ax $Ax$ 乘积一下就计算出来，就像矩阵

A $A$ 三列的组合：

A x b y c l u m n s 2 ⎡ ⎣ ⎢ 131 ⎤ ⎦ ⎥ + 5 ⎡ ⎣ ⎢ 101 ⎤ ⎦ ⎥ + 0 ⎡ ⎣ ⎢ 634 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 767 ⎤ ⎦ ⎥ (5)

$\begin{equation} {\rm Ax\ by\ clumns\quad} 2\begin{bmatrix} 1\\3\\1 \end{bmatrix} +5\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix} +0\begin{bmatrix} 6\\3\\4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7\\6\\7 \end{bmatrix}\tag5 \end{equation}$
答案就是两倍的第1列加5倍的第2列。它对应于线性方程组的列图像。如果右边

b $b$ 是7,6,7，那么解就是2,5,0。当然行图像也是如此(我们最终要做相同的乘法)。

列规则将会一遍又一遍的使用，现在我们在强调一遍：

1、 $Ax$ 的乘积可以利用方程(5)中的列找出来，因此 $Ax$ 是 $A$ 列的组合，其中系数是 $x$ 的元素。

为了让 $A\times x$ 在 $n$ 维空间中，我们需要一个符号来表示 $A$ 的每一项。第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素用 $a_{ij}$ 表示。第一个下标给出行数，第二个下标指示列。(在方程(4)中， $a_{21}$ 是3， $a_{13}$ 是6)如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，然后索引从1到 $m$ -有 $m$ 行，索引 $j$ 从1到 $n$ 。合在一起，矩阵有 $mn$ 个元素并且 $a_{mn}$ 位于右下角。

一个下标对向量来说已经足够了。 $x$ 的第 $j$ 个元素用 $x_j$ 表示。(以上的乘法有 $x_1=2,x_2=5,x_3=0$ )通常 $x$ 写成列向量，就像 $n\times 1$ 矩阵。但有时它写成一条线，如 $x=(2,5,0)$ 。括号和逗号强调它不是 $1\times 3$ 矩阵。而是一个列向量，它只是暂时躺着而已。

为了描述乘积 $Ax$ ，我们使用“sigma”符号求和 $\Sigma$ 表示和：

$S i g m a n o t a t i o n T h e i t h c o m p o n e n t o f A x i s \sum j = 1 n a i j x j$ ${\rm Sigma\ notation\qquad} {\rm The}\ i{\rm th\ component\ of\ }Ax\ {\rm is}\sum_{j=1}^na_{ij}x_j$
这个和取 $A$ 的第 $i$ 行。索引 $j$ 取1到 $n$ 的所有值，然后将结果加起来-和就是 $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n$ 。

我们再次见到行的长度( $A$ 的列数)必须匹配 $x$ 的长度。一个 $m\times n$ 矩阵乘以 $n$ 维向量(得到 $m$ 维向量)。求和符号比啥都写满简单许多，但是矩阵符号要更好。(爱因斯坦用“张量符号”，其中重复的索引意味着求和。他写 $a_{ij}x_j$ 或 $a_i^jx_j$ ，我们不是爱因斯坦，所以保持用符号 $\Sigma$ )

消元的矩阵形式

到目前为止，对方程组，我们有一种方便速记的形式 $Ax=b$ 。那么在消元过程中是怎么进行操作的呢？在我们的示例中，第一步是中用第二个方程减去第一个方程的2倍。对于右边就是， $b$ 的第二个元素减去第一个元素的2倍。如果我们用初等矩阵(或消元矩阵)乘以 $b$ ，会取得同样的效果：

$E l e m e n t a r y m a t r i x E = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥$ ${\rm Elementary\ matrix\quad}E= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$
根据矩阵和向量乘法的规则得以证实：
$E b = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 5 - 2 9 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 5 - 12 9 ⎤ ⎦ ⎥$ $Eb= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\-2\\9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5\\-12\\9 \end{bmatrix}$
5和9保持不变(因为 $E$ 的行1,0,0和0,0,1)。第一次消元步骤后，得到新的第二个元素-12。
它很容易用矩阵 $E$ 描述，它单独执行消元步骤。我们也注意到“单位矩阵”，不执行任何操作。

2、单位矩阵 $I$ 主对角线上为1，其余地方为0，不改变向量的值。基本矩阵 $E_{ij}$ 表示第 $i$ 行减去 $\ell$ 倍的 $j$ 行。 $E_{ij}$ 包含第 $i$ 行第 $j$ 列的 $-\ell$ 。

$I = ⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ h a s I b = b E 31 = ⎡ ⎣ ⎢ 10 - ℓ 010001 ⎤ ⎦ ⎥ h a s E 31 b = ⎡ ⎣ ⎢ b 1 b 2 b 3 - ℓ b 1 ⎤ ⎦ ⎥$ $I= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} {\rm has}\ Ib=b\qquad E_{31}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\-\ell&0&1 \end{bmatrix} {\rm has}\ E_{31}b= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3-\ell b_1 \end{bmatrix}$
$Ib=b$ 类似于乘1运算。典型的消元步骤是 $E_{31}$ 。重要的问题是：左边的 $A$ 发生了什么？
为了保持相等， $Ax=b$ 两边必须使用相同的操作。换句话说，我们也必须用矩阵 $E$ 乘以向量 $Ax$ 。我们最初的矩阵 $E$ 从第二行减去第一行的2倍，这一步之后，新的简单方程组(等价于旧的)就是 $E(Ax)=Eb$ 。因为第一个主元下面都是零，所以它更简单。因为我们可以恢复到最初的方程组(通过第二行加上第一行的2倍)所以他们是等价的。所以这两个方程组具有完全相同的解 $x$ 。
矩阵乘法
现在我们来看最重要的问题：我们如何计算两个矩阵相乘？我们可以从高斯消元法中得到部分线索：我们知道最初的系数矩阵 $A$ ，消元矩阵 $E$ ，而且还知道消元后的结果 $EA$ 。我们希望并期望

$E = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ t i m e s A = ⎡ ⎣ ⎢ 24 - 2 1 - 6 7 102 ⎤ ⎦ ⎥ g i v e s E A = ⎡ ⎣ ⎢ 20 - 2 1 - 8 7 1 - 2 2 ⎤ ⎦ ⎥$ $E= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} {\rm times}\ A= \begin{bmatrix} 2&1&1\\4&-6&0\\-2&7&2 \end{bmatrix} {\rm gives}\ EA= \begin{bmatrix} 2&1&1\\0&-8&-2\\-2&7&2 \end{bmatrix}$
矩阵 $A$ 的第二行减去第一行的两倍。矩阵乘法和消元法的行操作比较一致。我们可以将结果写成 $E(Ax)=Eb$ 或 $(EA)x=Eb$ 。精确地构造矩阵 $EA$ 使得方程成立，括号不是必须的：
$M a t r i x m u l t i p l i c a t i o n (E A \times x) e q u a l s (E \times A x) W e j u s t w r i t e E A x$ ${\rm Matrix\ multiplication\quad}(EA \times x){\rm equals}(E\times Ax)\quad {\rm We\ just\ write\ }EAx$
这是”结合律”，就像 $2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4$ 。交换律似乎显而易见，所以很难想象它可能是错的。但是“交换律” $2\times 3=3\times 2$ 对于矩阵来说就不成立 $EA\neq AE$ 。

关于矩阵乘法还有另一项要求。我们知道如何计算 $Ax$ ，一个矩阵和一个向量，新的定义应该也使它满足。当矩阵 $B$ 只包含一个列 $x$ 时，矩阵与矩阵 $AB$ 的乘积应该和矩阵与向量的乘积 $Ax$ 相同。更重要的是：当 $B$ 包含几列 $b_1,b_2,b_3$ 时， $AB$ 的列应该是 $Ab_1,Ab_2,Ab_3$ ！

$M u l t i p l i c a t i o n b y c o l u m n s A B = A ⎡ ⎣ ⎢ b 1 b 2 b 3 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ A b 1 A b 2 A b 3 ⎤ ⎦ ⎥$ ${\rm Multiplication\ by\ columns\qquad} AB= A\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} Ab_1\\Ab_2\\Ab_3 \end{bmatrix}$

我们的第一个要求与行有关，而这个与列有关。 $A$ 的第三种方法是描述 $AB$ 的每一项。事实上，只有一个可能的规则，不知道是谁发现了它，它恒成立，因为这个规则，我们不用让每对矩阵相乘。如果他们是方形的，他们肯定有相同的大小。如果是矩形的，他们形状肯定不一样； $A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。然后 $A$ 可以成 $B$ 的每一列。

如果 $A$ 是 $m\times n$ ， $B$ 是 $n\times p$ ，那么可以做乘法。乘积 $AB$ 是 $m\times p$ 。现在我们找出 $AB$ $i$ 行 $j$ 列的元素。

3、 $AB$ 的 $i,j$ 项是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的内积。在图1中， $AB$ 的第3,2项从3行，2列计算得到：

$(A B) 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 + a 34 b 42 (6)$ $\begin{equation} (AB)_{32}=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}+a_{34}b_{42}\tag6 \end{equation}$

图1： $3\times 4$ 的矩阵 $A$ 乘以 $4\times 2$ 的矩阵 $B$ 得到 $3\times 2$ 的矩阵 $AB$

注意，当矩阵没有经过消元处理时我们写成 $AB$ 。因为初等矩阵 $E$ ，所以我们前面的示例中写成 $EA$ 。之后我们有 $PA$ 或 $LU$ 或 $LDU$ 。矩阵乘法的规则都是一样。

例1：

$A B = [2430] [15 2 - 1 00] = [1741800]$ $AB= \begin{bmatrix} 2&3\\4&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&0\\5&-1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 17&1&0\\4&8&0 \end{bmatrix}$
$17$ 就是 $(2)(1)+(3)(5)$ ， $A$ 的第一行与 $B$ 的第一列内积的结果。 $8$ 就是 $(4)(2)+(0)(1)$ ， $A$ 的第二行与 $B$ 的第二列内积的结果。

$B$ 的第三列是零，所以 $AB$ 也是零。 $B$ 包含三列， $B$ 分别乘以每一列。 $AB$ 的每一列都是 $A$ 列的组合。就像矩阵和向量乘法一样， $A$ 列的系数就是 $B$ 中的元素。
例2：

$R o w e x c h a n g e m a t r i x [0110] [2738] = [7283]$ ${\rm Row\ exchange\ matrix\qquad} \begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&3\\7&8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7&8\\2&3 \end{bmatrix}$

例3：单位矩阵 $I$ 不改变任何矩阵：

$I d e n t i t y m a t r i x I A = A a n d B I = B$ ${\rm Identity\ matrix\qquad} IA=A\quad {\rm and}\quad BI=B$

重要提示：乘法 $AB$ 也可以一次计算一行。在例中1中， $AB$ 的第一行可以使用 $A$ 第一行的数字2和3。这些数字给出 $2[row\ 1]+3[row\ 2]=[17\ 1\ 0]$ 。就像之前的消元法， $AB$ 的每行是 $B$ 行的组合。

4、(1) $AB$ 的元素是行和列的乘积：

$(A B) i j = (r o w i o f A) \times (c o l u m n j o f B)$ $(AB)_{ij}=(row\ i\ of\ A)\times (column\ j\ of\ B)$
(2) $AB$ 的每一列是矩阵和列的乘积：
$c o l u m n j o f A B = A \times (c o l u m n j o f B)$ $column\ j\ of\ AB=A\times (column\ j\ of\ B)$
(3) $AB$ 的每一行是行和矩阵的乘积：
$r o w i o f A B = (r o w o f A) \times B$ $row\ i\ of\ AB=(row\ of\ A)\times B$

这引出了矩阵乘法的一个关键性质。假设三个矩阵 $A,B,C$ 的形状(可能是矩形)可以加倍， $A,B$ 的行乘以 $B,C$ 的列，那么关键性质就是：

5、矩阵乘法满足结合律： $(AB)C=A(BC)$ ，写作 $ABC$ 。

$AB\times C=A\times BC$ 。如果 $C$ 刚好是一个向量(只有一列的矩阵)，这正好就是之前提到的 $(EA)x=E(Ax)$ ，这是矩阵乘法规则的基础。如果 $C$ 有几列，我们可以一列列考虑，所利用几次法则。当计算几个矩阵乘法时，括号是没必要的。
还有两个性质需要提到-一个是矩阵乘法满足的，另一个是它不满足的。
6、矩阵乘法满足分配律：
$A(B+C)=AB+AC\quad and\quad (B+C)D=BD+CD$

当然这些矩阵的形状必须匹配- $B,C$ 有相同的形状，这样的话他们才可以相加。这个定律的证明太过无聊这里不再陈述。

下面这条性质就不满足了：

7、矩阵乘法不满足交换律：通常\ $FE\neq EF$

例4：假设 $E$ 是第二行减去第一行的2倍， $F$ 是第一行加到第三行上：

$E = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ a n d F = ⎡ ⎣ ⎢ 101010001 ⎤ ⎦ ⎥$ $E= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} {\rm \quad and\quad}F= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\1&0&1 \end{bmatrix}$
两个矩阵相乘得：
$E F = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 1 010001 ⎤ ⎦ ⎥ = F E$ $EF= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1 \end{bmatrix} =FE$
无论是哪种顺序 $EF$ 或 $FE$ ，利用第一行改变了第二和第三行的值。

例5：假设 $E$ 和上面一样，但 $G$ 是第二行加到第三行上。现在改变他们的顺序，当先执行 $E$ ，再执行 $G$ ，在改变第三行之前第二行已经改变了。如果反过来，那么第三个等式不会受到第一行的影响，我们将会看到 $EG$ 的(3,1)元素为零，而 $GE$ 的是-2：

$E F = ⎡ ⎣ ⎢ 100011001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 - 2 011001 ⎤ ⎦ ⎥ b u t E G = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 011001 ⎤ ⎦ ⎥$ $EF= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\-2&1&1 \end{bmatrix} \quad but\quad EG= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\0&1&1 \end{bmatrix}$
因此 $EG\neq GE$ 。随便举个例子依然如此(大部分矩阵都不满足)。这里的矩阵是有意义的， $EF=FE$ 而 $EG\neq GE$ 是有原因的，我们有必要看看三个消元矩阵放一起会发生什么：
$G E F = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 - 1 011001 ⎤ ⎦ ⎥ a n d E F G = ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 - 1 011001 ⎤ ⎦ ⎥$ $GEF= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1 \end{bmatrix} \quad and\quad EFG= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1 \end{bmatrix}$
$GFE$ 是消元的正确顺序。将最初的矩阵 $A$ 变成了上三角矩阵 $U$ ，我会在下一篇文章中再次讲述。

其他矩阵 $EFG$ 更好。对于这个顺序， $E$ 的-2， $F$ 的1和 G <script type="math/tex" id="MathJax-Element-369">G</script> 都未受到影响，他们直接得出乘积，而它却是错误的消元顺序。但幸运的是，它是右边消元步骤的逆(我也会在下一篇文章里讲解)。

注意，下三角矩阵的乘积依然是下三角矩阵。

这篇关于漫步线性代数四——矩阵符号和矩阵乘法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！