漫步数学分析十四——连通集

本文主要是介绍漫步数学分析十四——连通集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$\textbf{定义3}$ 集合$A\subset R^n$为连通集，如果不存在两个非空开集$U,V$，使得$A\subset U\cup V,A\cap U\neq\emptyset,A\cap V\neq\emptyset,A\cap U\cap V=\emptyset$。

直观上，集合$U,V$将$A$分成了两部分，并且如果的确如此，那么我们就说$A$不是连集(图$\ref{fig:3-6}$)。

图1

图$\ref{fig:3-3}$中的集合就是连集当不是路径连通；因此这两个概念是不同的。然而，这两个想法之间有一个有效的联系，如下面的定理所陈述的。

$\textbf{定理3}$ 如果集合$A$是路径连通的，那么$A$是连通的。

这个定理可能是判断连集最容易的方法，而且这个定理非常直观。

如果集合$A$不是连集(自然就不是路径连通)，我们可以将它分成几份，准确地来说，集合$A$的元素(component)是连通子集$A_0\subset A$，使得除了$A_0$以外，$A$中不存在其他包含$A_0$的连集。如图1所示，因此我们可以看出一个元素就是最大的连子集。我们可以用路径连通而不是连通并用相同的方式来定义路径连通。

$\textbf{例1：}$$Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\subset R$是连集吗？

$\textbf{解：}$不是。因为如果$U=(1/2,\infty),V=(-\infty,1/4)$，那么$Z\subset U\cup V,Z\cap U=\{1,2,3,\ldots\}\neq\emptyset,Z\cap V=\{\ldots,-2,-1,0\}\neq\emptyset,Z\cap U\cap V\emptyset$，因此$Z$不是连集，很明显$Z$也不是路径连通，但是通关观察可以看出路径不连通不能得出$Z$不是连通的。

图2

$\textbf{例2：}$$\{(x,y)\in R^2|0<x^2+y^2\leq 1\}$是连集吗？

$\textbf{解：}$从上篇文章例1d可知，这个集合是路径连通的，因此由定理3可知它是连通的。直接证明比较复杂，这里不再给出。

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