漫步数学分析十四—

漫步数学分析十四——连通集

本文主要是介绍漫步数学分析十四——连通集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$\textbf{定义3}$ 集合 $A\subset R^n$ 为连通集，如果不存在两个非空开集 $U,V$ ，使得 $A\subset U\cup V,A\cap U\neq\emptyset,A\cap V\neq\emptyset,A\cap U\cap V=\emptyset$ 。

直观上，集合 $U,V$ 将 $A$ 分成了两部分，并且如果的确如此，那么我们就说 $A$ 不是连集(图 $\ref{fig:3-6}$ )。

图1

图 $\ref{fig:3-3}$ 中的集合就是连集当不是路径连通；因此这两个概念是不同的。然而，这两个想法之间有一个有效的联系，如下面的定理所陈述的。

$\textbf{定理3}$ 如果集合 $A$ 是路径连通的，那么 $A$ 是连通的。

这个定理可能是判断连集最容易的方法，而且这个定理非常直观。

如果集合 $A$ 不是连集(自然就不是路径连通)，我们可以将它分成几份，准确地来说，集合 $A$ 的元素(component)是连通子集 $A_0\subset A$ ，使得除了 $A_0$ 以外， $A$ 中不存在其他包含 $A_0$ 的连集。如图1所示，因此我们可以看出一个元素就是最大的连子集。我们可以用路径连通而不是连通并用相同的方式来定义路径连通。

$\textbf{例1：}$ $Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\subset R$ 是连集吗？

$\textbf{解：}$ 不是。因为如果 $U=(1/2,\infty),V=(-\infty,1/4)$ ，那么 $Z\subset U\cup V,Z\cap U=\{1,2,3,\ldots\}\neq\emptyset,Z\cap V=\{\ldots,-2,-1,0\}\neq\emptyset,Z\cap U\cap V\emptyset$ ，因此 $Z$ 不是连集，很明显 $Z$ 也不是路径连通，但是通关观察可以看出路径不连通不能得出 $Z$ 不是连通的。