漫步数学分析五——闭集

本文主要是介绍漫步数学分析五——闭集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$\textbf{定义3}$ 对于$R^n$中的集合$B$，如果它在$R^n$中的补(即集合$R^n\backslash B$)是开集，那么它是闭集。

例如，单点是闭集，含有边界的单位圆组成的集合是闭集。大致来说，当集合包含它的边界点时它就是闭的(直观感觉可从图6中看出)，如图1所示。

图1

存在既不是开集又不是闭集的集合。例如在$R^1$，中半开半闭区间$(0,1]$既不是开集也不是闭集，因此如果$A$不是开集，我们不能说它是闭集，接下来的定理与定理2类似。

$\textbf{定理3}$
$\textrm{(i)}$$R^n$中有限个闭子集的并是闭集。
$\textrm{(ii)}$$R^n$中任意个闭子集的交是闭集。

这个定理是直接从定理2得出的，只需要注意当取补的时候，并与交需要互相变换，所以这里就不在证明。

$\textbf{例1：}$令$S=\{(x,y)\in R^2|0<x\leq 1,0\leq y\leq 1\}$，$S$是闭集吗？

图2

$\textbf{解：}$观察图2，直观上看$S$不是闭集，因为$y$ 轴上的边界部分不在$S$中，另外它的补也不是开集，因为$y$ 轴上点的$\varepsilon$邻域与$S$相交(因此不在$R^n\backslash S$)。

$\textbf{例2：}$令$S=\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2\leq 1\}$，$S$是闭集吗？

$\textbf{解：}$答案是肯定的。$S$就是包含边界的单位圆，它的补明显是开集，因为对于$(x,y)\in R^2\backslash S$，半径为$\varepsilon=\sqrt{x^2+y^2}-1$完全含于$R^2\backslash S$中(如图3所示)。

图3

$\textbf{例3：}$说明$R^n$中任何有限集是闭集。

$\textbf{解：}$单点是闭集，所以我们可以应用定理3$\textrm{(i)}$。

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