数学分析复习：黎曼引理、黎曼-勒贝格引理

本文主要是介绍数学分析复习：黎曼引理、黎曼-勒贝格引理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

文章目录

黎曼引理、黎曼-勒贝格引理
- Riemann引理
- Riemann-Lebesgue引理

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

黎曼引理、黎曼-勒贝格引理

Riemann引理

我们知道一般情况下积分算子是无法保持乘法的，即
$\int_a^bf(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x\neq \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\cdot \int_a^bg(x)\mathrm{d}x$

对于某些具有特殊性质的函数，我们有相像的结论

Riemann（黎曼）引理
若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $g (x)$ 以 $T$ 为周期，且在 $[0, T]$ 上可积，则
$\lim\limits_{n\to\infty}\int_a^bf(x)g(nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$

如果我们能证明 $g(x)\geq 0$ 的情形，那么一般情形也证得，只需将 $g (x)$ 分成正部和负部即可；以下设 $g(x)\geq 0$

证明
由于 $g (x)$ 以 $T$ 为周期，故 $g (x)$ 以 $\frac{T}{n}$ 为周期，当 $n$ 充分大时，存在足够大的正整数 $m$ ，使得
$[A,b]=[-mT,mT]\supset [a,b]$

令 $F(x)=\begin{cases} f(x),&x\in[a,b]\\ 0,&x\in[A,B]/[a,b]\\ \end{cases}$

故 $F (x)$ 在 $[A, B]$ 上可积，且
$I_n\triangleq \int_a^bf(x)g(nx)\mathrm{d}x=\int_A^BF(x)g(nx)\mathrm{d}x$

将 $[A, B]$ 等分 $2 mn$ 份，每个小区间长度为 $\frac{T}{n}$ ，设分划
$A=x_0<x_1<\cdots<x_{2mn}=B$

从而
$I_n=\int_A^BF(x)g(nx)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{2mn}\int_{x_{i-1}}^{x_i}F(x)g(nx)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{2mn}F(c_i)\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(nx)\mathrm{d}x$

作代换 $t = n x$ ，则有
$\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(nx)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{T}{n}}g(nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int_0^Tg(t)\mathrm{d}t$

从而 $I_n=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\sum\limits_{i=1}^{2mn}c_i\frac{T}{n}$

又 $\sum\limits_{i=1}^{2mn}m_i\frac{T}{n}\leq\sum\limits_{i=1}^{2mn}c_i\frac{T}{n}\leq\sum\limits_{i=1}^{2mn}M_i\frac{T}{n}$

注意到该不等式左右两端分别为 $F (x)$ 在 $[A, B]$ 上的Darboux大、小和，从而
$\lim\limits_{n\to\infty}I_n=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\cdot\int_A^BF(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\cdot\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$

上述Riemann引理有如下适应反常积分的情形
Riemann引理
设 $f (x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上绝对可积， $g (x)$ 是周期为 $T$ 的函数，在 $[0, T]$ 上可积，则
$\lim\limits_{n\to\infty}\int_a^{\infty}f(x)g(nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$

证明
设 $|g(x)|\leq M$ ，取 $A\in(a,\infty)$ ，当 $A$ 充分大时，
$\begin{split} &|\int_a^{\infty}f(x)g(nx)\mathrm{d}x-\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_a^{\infty}f(x)\mathrm{d}x|\\ =&|\int_a^Af(x)g(nx)\mathrm{d}x+\int_A^{\infty}f(x)g(nx)\mathrm{d}x-\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_a^Af(x)\mathrm{d}x-\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_A^{\infty}f(x)\mathrm{d}x|\\ =&|\int_a^Af(x)g(nx)\mathrm{d}x-\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x\int_a^Af(x)\mathrm{d}x|+M|\int_A^{\infty}f(x)\mathrm{d}x|+\frac{1}{T}|\int_0^Tg(x)\mathrm{d}x|\int_A^{\infty}|f(x)|\mathrm{d}x\\ \to&0\\ \end{split}$

其中第一项趋于零由常规积分的 Riemann引理保证，第二、三项趋于零由 $f (x)$ 的绝对可积性保证

以下引理是Riemann引理的直接推论，是信号处理中重要的一个结论

Riemann-lebesgue引理
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则有
$\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\cos{kx}\mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x=0$

该结论直观的意义是，若被积函数振荡过快，其积分为零

Riemann-Lebesgue引理

重述一遍结论
Riemann-lebesgue引理
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则有
$\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\cos{kx}\mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x=0$

换一种思路证明Riemann-Lebesgue引理，不妨假设 $f$ 还是可导的，那么由分部积分公式

$\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x=\int_a^bf'(x)\frac{\cos{x}}{n}\mathrm{d}x+\frac{f(a)}{n}\cos{(na)}-\frac{f(b)}{n}\cos{(nb)}$

从而
$|\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x|\leq\frac{1}{n}\int_a^b|f'|\mathrm{d}x$

这即是说 $\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x$ 收敛于零，且收敛速度估计为 $|\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x|=O(\frac{1}{n})$

若进一步假设 $f\in C^k[a,b]$ ，且 $f$ 的 $k$ 阶导数始终在 $a, b$ 附近为0，则不断使用分部积分公式可以得到
$|\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x|=O(\frac{1}{n^k})$

再换一种思路证明 Riemann-Lebesgue引理，若 $f$ 是连续函数，则用光滑函数（即一阶连续可导）逼近连续函数；若 $f$ 是可积函数，则用简单函数逼近它；

结论
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则有
$\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\cos{kx}\mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x=0$

证明
对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $n\geq N$ 时，由 Weierstrass-Stone 定理，存在多项式 $P (x)$ ，使得
$\sup\limits_{x\in[a,b]}|P(x)-f(x)|<\frac{1}{2}\frac{\varepsilon}{b-a}$

由分部积分公式容易得到当 $n$ 充分大时
$|\int_a^bP(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x|\leq \frac{1}{n}(\int_a^b|P'|+2)<\frac{\varepsilon}{2}$

从而
$|\int_a^bf(x)\sin{nx}\mathrm{d}x|\leq |\int_a^bP(x)\sin{nx}\mathrm{d}x|+\int_a^b|P(x)-f(x)||\sin{(nx)}|\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

结论
设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则有
$\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\cos{kx}\mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf(x)\sin{kx}\mathrm{d}x=0$

证明
存在阶梯函数 $\varphi$ 使得 $\int_A^b|\varphi-f|<\varepsilon$

故有 $|\int_a^bf(x)\sin{nx}\mathrm{d}x|\leq|\int_a^b\varphi(x)\sin{nx}\mathrm{d}x|+\int_a^b|f(x)-\varphi(x)||\sin{nx}|\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$