漫步数学分析二十——一致连续

本文主要是介绍漫步数学分析二十——一致连续，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

有时候，对连续的定义进行一些变形是非常有用的。这就是我们要介绍的一致连续函数(uniformly continuous function)，精确的定义如下。

$\textbf{定义3}$ 令$f:A\to R^m,B\subset A$，我们说$f$ 在集合$B$上一致连续，如果对每个$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得$x,y\in B$，并且$d(x,y)<\delta$意味着$d(f(x),f(y))<\varepsilon$。

这个定义与连续类似，除了给定$\varepsilon$后，选择的$\delta$必须对所有的$x,y$都满足。对于连续而言，我们给定$\varepsilon>0$和一个值$x_0$后，然后选择所需的$\delta$。很明显，如果$f$是一致连续的，那么$f$就是连续的。

例如，考虑$f:R\to R,f(x)=x^2$，$f$是连续的，但不是一致连续。事实上，给定$\varepsilon>0,x_0>0$，我们给出的$\delta>0$至少要比$\varepsilon/(2x_0)$要小，所以如果我们选择的$x_0$比较大，$\delta$必须要小，无法找出对所有$x_0$都满足的$\delta$。这个现象在紧集上就不会发生，也就是下面定理要介绍的内容。

$\textbf{定理7}$ 令$f:A\to R^m$是连续的且$K\subset A$ 是一个紧集，那么$f$在$K$上是一致连续的。

定理7中仅仅用有界集是不行的，考虑非紧集$(0,1]$，令$f(x)=1/x$，那么如果我们可以证明$f$是连续的，但不是一致连续的。当然，我们不可能令$f$在紧集[0,1]上连续，因为在该集合上，函数无界的。

另一种判别一致连续的准则会在下面的例2中给出。

$\textbf{例1：}$令$f:(0,1]\to R,f(x)=1/x$，说明$f$在$[a,1]$上一致连续，其中$a>0$。

$\textbf{解：}$因为$[a,1]$是紧集，所以根据定理7立即可以得出结论。

$\textbf{例2：}$令$f:(a,b)\to R$是可微的，假设$|f^{'}(x)|\leq M$，这里，$a,b$可能是$\pm\infty$，$f^{'}$表示$f$的导数，说明$f$在$(a,b)$上一致连续。

$\textbf{解：}$一致连续的定义要求我们用$|x-y|$来估计$|f(x)-f(y)|$，这就启发我们用均值定理。在$x,y$之间存在$x_0$使得

$$f(x)-f(y)=f^{'}(x_0)(x-y)$$
因此
$$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$$

给定$\varepsilon>0$，选择$\delta=\varepsilon/M$，那么$|x-y|<\delta$意味着

$$|f(x)-f(y)|<M\cdot\delta=M\cdot\varepsilon/M=\varepsilon$$

因此$f$是一致连续的。

这个例子中，直觉上也可以多少看出一致连续。即这个结果说明，如果函数图像的斜率是有界的，那么它是一致连续的。当验证某些特殊的函数或他们的图像时，这是一个很好的思考方向。

$\textbf{例3：}$说明$\sin x:R\to R$是一致连续。

$\textbf{解：}$$d(\sin x)/dx=\cos x$是有界的，且绝对值是1，所以根据例2可知，$\sin x$是一致连续的。

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