数学分析复习： 连续函数、可微函数的重要结论梳理

本文主要是介绍数学分析复习： 连续函数、可微函数的重要结论梳理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

连续函数、可微函数的重要结论梳理

总结

在数学分析一中，关于闭区间上的连续函数，我们用区间套公理可获得一系列结论

区间套定理 $\Rightarrow$ 有界性定理 $\Rightarrow$ 最值定理 $\Rightarrow$ 介值定理

若进一步要求函数可微，则有

最值定理 $\Rightarrow$ 中值定理 $\Rightarrow$ 洛必达法则 $\Rightarrow$ 泰勒公式

类似地，在开区间我们也希望得到类似的结论，我们要求函数在两个区间端点的单侧极限有限，这时在开区间端点处可人为定义函数值，从而将函数变为闭区间上的连续函数

继续考虑开区间上的连续函数，若区间端点的单侧极限发散到无穷，并且要求左右两个端点的单侧极限符号一致，这时我们可以得到上述一系列结论的一半：即有界性定理的结论削弱为有上界或有下界，最值定理削弱为存在最大值或存在最小值，诸如此类……

细节

1.有界性定理

版本1：设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有界

版本2：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 存在且有限，则 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上有界

版本3：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均发散到正（负）无穷，则 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上有下界（上界）

证明思路
版本1：反证法，设函数无界，将区间不断对半分，可构造出一个闭区间套，它满足对其中的每个闭区间，函数均无界；

一方面，由闭区间套定理，这些闭区间之交中有且仅有一个点，函数在该点是无界的。

另一方面，函数在该点是连续的，则函数在此点附近均有界

显然产生矛盾

版本2：一个方法是直接定义 $f(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),f(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$，从而新得到的函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，用版本1的结论立得；

另一个方法是仿照版本1的证明，采用“退 $\epsilon$ 步海阔天空”的方法：即考虑对任意 $\epsilon >0,[a+\epsilon ,b-\epsilon ]$ 上的连续函数

版本3：基本上是版本1叙述的“一半”，但也需退 $\epsilon$ 步
设 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$，证明 $f$ 有下界
对任意 $\epsilon >0$，考虑区间 $[a+\epsilon ,b-\epsilon ]$，反证法，设函数无下界，将区间不断对半分，可构造出一个闭区间套，它满足对其中的每个闭区间，函数均无下界；

一方面，由闭区间套定理，这些闭区间之交中有且仅有一个点，函数在该点是无下界的。

另一方面，函数在该点是连续的，则函数在此点附近均有界

显然产生矛盾

2.最值定理

版本1：设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上必能取到最值

版本2：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 存在且有限，则 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上必能取到最值

版本3：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均发散到正（负）无穷，则 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上能取到最小值（最大值）

证明思路
版本1：由有界性定理，$f$ 有界，再由确界原理，$f$ 必有确界
由上确界的定义，对任意 $\epsilon >0$，存在 $x$，使得
$$sup-\epsilon <f(x)\le sup$$取一列 ${\epsilon }_n=\frac{1}{n}$，则存在 { x n } \{x_n\} {xn​} 满足
$$-\frac{1}{n}<f(x_n)-sup\le 0$$

由 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界，由 Weierstrass 定理，设其收敛子列 $x_{n_k}\to x_0$，
一方面，由于
$$-\frac{1}{n_k}<f(x_{n_k})-sup\le 0$$

令 $n_k\to 0$，得
$$\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=sup$$

另一方面，由连续性
$$f(x_0)=f(\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k})=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=sup$$

类似可证下确界

版本2：直接定义 $f(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),f(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$

或仿照版本1的证明，采用“退 $\epsilon$ 步”的方法

版本3：基本上是版本1叙述的“一半”，采用“退 $\epsilon$ 步”的方法

3.介值定理

版本1：设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$m,M$ 分别是其最小值，最大值，则 对任意 $y\in [m,M]$，存在 $x_0\in [a,b]$，使得 $f(x_0)=y$

版本2：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 存在且有限，$m,M$ 分别是其最小值，最大值，则 对任意 $y\in [m,M]$，存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f(x_0)=y$

版本3：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均发散到正无穷，$m$ 是其最小值，则对任意 $y\in [m,+\infty )$，存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f(x_0)=y$

为证明介值定理，我们使用先特殊后一般的技巧，我们证明以下特殊情形的介值定理，其被称为零点存在性定理，得证后会发现介值定理是显然的

零点存在性定理
版本1：设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，若 $f(a)\cdot f(b)\le 0$，则存在 $x_0\in [a,b]$，使得 $f(x_0)=0$

版本2：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续，若 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)\le 0$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f(x_0)=0$

版本3：设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续， $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均发散到正无穷，$m$ 是其最小值，若 $m<0$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f(x_0)=0$

证明思路
版本1：不妨设 $f(a)<0,f(b)>0$，构造零点如下
x 0 = sup ⁡ { x ∈ [ a , b ] ∣ f ( x ) < 0 } x_0=\sup\{x\in[a,b]|f(x)<0\} x0​=sup{x∈[a,b]∣f(x)<0}

由构造得到 $f(x_0)\le 0$
下用反证法证明 $f(\xi )=0$，设 $f(\xi )<0$，由连续性知道在 $\xi$ 附近 $f(\xi )<0$，这与 $\xi$ 是符合条件的最小上界矛盾

版本2：直接仿照版本1的证明即可，不需要添加定义 $f(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),f(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$

版本3：直接仿照版本1的证明

4.中值定理

Rolle中值定理
版本1：设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微，若 $f(a)=f(b)$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(x_0)=0$

版本2：设函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，若 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均有限，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(x_0)=0$

版本3：设函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，若 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(x_0)=0$

证明思路
版本1,2,3：设 $f$ 为非常值函数，则 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上存在最大值 $f(x_0)$，则 $f^{\prime }(x_0)=0$

由Rolle中值定理容易推出以下的Lagrange中值定理
Lagrange中值定理
版本1：设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

版本2：设函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均存在且有限，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $$f^{\prime }(x_0)=\frac{\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)}{b-a}$$

证明思路
版本1：构造辅助函数 $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 并用Rolle中值定理可得

版本2：构造辅助函数 $g(x)=f(x)-\frac{\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)}{b-a}(x-a)$ 并用Rolle中值定理可得

Cauchy中值定理
版本1：设函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微，设对任意的 $x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

版本2：设函数 $f,g$ 在 $(a,b)$ 上可微，$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 均存在且有限，设对任意的 $x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $x_0\in (a,b)$，使得
$$\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}=\frac{\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)}{\underset{x\to b^{-}}{\lim }g(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)}$$

证明思路
版本1：
法1：构造辅助函数 $$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$$ 并用 Rolle中值定理

法2：由 $g^{\prime }(x)\ne 0$，故 $g:I=[a,b]\to J=[g(a),g(b)]$ 是同胚

考虑映射 $f\circ g^{-1}:J\to Y$，由Lagrange中值定理，存在 $c\in J$，使得
$$\frac{f\circ g^{-1}(g(a))-f\circ g^{-1}(g(b))}{g(a)-g(b)}=(f\circ g^{-1}{)}^{\prime }(c)$$

版本2：
将版本1中的 $f(a)$ 替换为 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$，$f(b)$ 替换为 $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$ 即可

注：Cauchy中值定理的几何直观
考虑如下的向量值函数 $$F:[a,b]\to \mathbb{R},x\mapsto \left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$$

Cauchy中值定理说的是存在曲线上一点 $x_0$，使得其切线方向 $F^{\prime }(x_0)$ 与两个端点的连线 $\left(\begin{array}{c}f(b)\\ g(b)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}f(a)\\ g(a)\end{array}\right)$ 是同方向的

也可以这么理解：考虑单位圆上的切线方向函数
$$\hat{F}:[a,b]\to S^1,x\mapsto \frac{(g^{\prime }(x),f^{\prime }(x))}{\sqrt{f^{\prime }(x{)}^2+g^{\prime }(x{)}^2}}$$

Cauchy中值定理说的是对单位圆上任意一点的切线方向，总可以找到圆上两点
$$(\frac{g(b)}{\sqrt{g(b{)}^2+f(b{)}^2}},\frac{f(b)}{\sqrt{g(b{)}^2+f(b{)}^2}})$$$$(\frac{g(a)}{\sqrt{g(a{)}^2+f(a{)}^2}},\frac{f(a)}{g(a{)}^2+f(a{)}^2})$$ 使得它们的连线方向与其相同

5.洛必达法则

$L^{\prime }H\hat{o}pital$（洛必达）法则
设 $f,g$ 是区间 $(a,b)$ 上的实值可微函数，假设 $f(x),g(x)=o(x-a)$，即
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0$$

设对任意 $x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$，若极限 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在，则
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

证明
（Cauchy中值定理）
由于 $f,g$ 在区间 $[a,x]$ 上连续并且在 $(a,x)$ 上可微，由 Cauchy中值定理，存在 $\xi (x)\in (a,x)$，使得
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi (x))}{g^{\prime }(\xi (x))}$$

由于 $a<\xi (x)<x$，当 $x\to a^{+}$ 时，则有
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(\xi (x))}{g^{\prime }(\xi (x))}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

注：类似可证 $x\to \infty ,x\to b^{-}$ 的情形

6.泰勒公式

定理：Taylor（泰勒）展开公式
Peano余项
设函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在 $a$ 处有直到 $n$ 阶的导数，则当 $x\to a^{+}$ 时，有
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+o((x-a{)}^n)$$

Lagrange余项
设函数 $f\in C^n[a,b]$，若 $f$ 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 次可导，则
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+R_n(x)$$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1},\xi \in [a,x]$

Cauchy余项
设函数 $f\in C^n[a,b]$，若 $f$ 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 次可导，则
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\overline{R}}_n(x)$$

其中 ${\overline{R}}_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-\xi {)}^n(x-a),\xi \in [a,x]$

证明思路
Peano余项
只需证
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k}{(x-a{)}^n}=0$$

不断利用L’Hospital法则即得

Lagrange余项
法1：定义
$$F(t)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$$

求导得到
$$F^{\prime }(t)=\frac{f^{n+1}(t)}{n!}(x-t{)}^n$$

考虑定义在 $(a,x)$ 上的函数
$$G(t)=(\frac{x-t}{x-a}{)}^{n+1}$$

由 Cauchy 中值定理，存在 $\xi \in (a,x)$，使得
$$\frac{F^{\prime }(\xi )}{G^{\prime }(\xi )}=\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}$$

代入 $F,G$，整理即得

法2：引理（Rolle定理的高阶推广）：设 $f\in C^n[a,b]$，且在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 次可导，若 $f$ 在 $a$ 处的 $n$ 次导数全为零，且 $f(a)=f(b)$，那么存在 $x_0\in (a,b)$，使得 $f^{(n+1)}(x_0)=0$

设 $P_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$，选取合适的 $\lambda \in \mathbb{R}$，使得 $P(b)=f(b)$，
其中 $$P(x)=P_n(x)+\lambda (x-a{)}^{n+1}$$

故解得
$$\lambda =\frac{f(b)-P_n(b)}{(b-a{)}^{n+1}}$$

故 $f(x)-P(x)$ 在 $x=a,x=b$ 处均为零，故存在 $c\in (a,b)$，使得
$$f^{(n+1)}(c)-P^{(n+1)}(c)=0$$

整理即得

Cauchy余项
类似 Lagrange余项的第一个证明，不同的是取 $G(t)=\frac{x-t}{x-a}$

命题：满足Peano余项的Taylor展开公式是唯一的
设函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在 $a$ 处有直到 $n$ 阶的导数，若存在 $P(x)\in {\mathbb{P}}_n(x)$，使得当 $x\to a^{+}$ 时，有
$$f(x)=P(x)+o((x-a{)}^n)$$

则 $$P(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$$

证明思路
设 $Q(x)=P(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$，由Peano余项的Taylor展开公式，
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{Q(x)}{(x-a{)}^n}=0$$

由于 $\mathrm{deg}Q\le n$，故 $Q\equiv 0$

注：由此可见，在 $a$ 附近，$\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$ 是 $f(x)$ 在 ${\mathbb{P}}_n(x)$ 内的最佳逼近元

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著

这篇关于数学分析复习： 连续函数、可微函数的重要结论梳理的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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