【概率论】5-2:伯努利和二项分布(The Bernoulli and Binomial Distributions)

本文主要是介绍【概率论】5-2:伯努利和二项分布(The Bernoulli and Binomial Distributions)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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Abstract: 本文介绍Bernoulli Distribution （伯努利分布）和Binomial Distribution（二项分布）
Keywords: Bernoulli Distributions，Binomial Distributions

伯努利和二项分布

吐血更，一天三篇，虽然上一篇只能算一段，但是确实应该加快总结的步伐了，给后面的新内容腾出足够的时间

一杯敬自由，一杯敬死亡

在本章的开始，我们从离散分布下手，看看每个分布有这什么样的特点，然后用我们的工具分析研究其内在的性质，当然要从最简单的开始，逐步构建出我们要研究的有代表性的这些分布，第一个被处理的就是伯努利分布（bernoulli Distribution）
随机变量 $X$ 只有两个取值，0或者1，并且取1的概率固定是 $p$ 那么我们就说 $X$ 有一个参数为 $p$ 的伯努利分布。如果我们只知道试验输出对应的随机变量只有两个结果，非此即彼，那么这个随机变量的分布就是伯努利族中的一个随机变量。
如果随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 有相同的伯努利分布，他们的和就是其中为1的随机变量的个数，这个个数也是随机的，其对应的分布为二项分布。

伯努利分布 The Bernoulli Distributions

上来先来个例子：

临床试验，对于某种治疗，我们简单的把结果划分成两种，一种有效，一种无效，我们用随机变量来表示这两个结果， $X = 1$ 表示治疗有效 $X = 0$ 表示治疗无效，那么我们要做的是得到这个概率就是 $P r (X = 1) = p$ 的值就是我们关心的结果。 $p$ 的取值范围在 $[0, 1]$ 对应于不同的 $p$ 我们就有了伯努利分布族。

Definition Bernoulli Distribution.A random variable X has the Bernoulli distribution with parameter $p$ ( $0\leq p\leq 1$ )if X can take only the values 0 and 1 and the probabilities are
$P r (X = 1) = p$
and
$P r (X = 0) = 1 - p$

其概率函数可以被写成：
$\begin{cases} p^x(1-p)^{1-x}&\text{ for }x=0,1\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$
p.f.的表示方法可以看出伯努利分布是依赖于参数 $p$ 的，所以 $p$ 可以看成一个条件，那么我们后面所有类似的分布都可以将其p.f.或者p.d.f.写成这种形式。
c.d.f.（似乎我们学c.d.f的时候已经讲过了）可以被写成：
$\begin{cases} 0&\text{ for }x<0 \\ 1-p&\text{ for }0 < x < 1 \\ 1&\text{ for }x\geq 1 \end{cases}$

期望 Expectation

当我们研究完其p.f.和c.d.f.以后就研究研究他的期望吧，也没啥可研究的了，随机变量 $X$ 有参数为 $p$ 的伯努利分布，那么其期望：
$E(X)=p\times1 + 0\times(1-p)=p$
然后我们研究一下随机变量 $X^2$ 的概率分布
$E(X^2)=p\times1^2 + (1-p)\times0^2=p$

方差 Variance

期望完了当然是方差了，同样是随机变量 $X$ 有参数为 $p$ 的伯努利分布，那么其方差：
$Var(X)=E[(X-E(X))^2]=(1-p)^2p+(-p)^2(1-p)=p(1-p)(1-p+p)=p(1-p)$
或者通过更简单的公式：
$Var(X)=E[X^2]-E^2[X]=p-p^2=p(1-p)$
结果一致。

距生成函数 m.g.f.

我们说过除了p.d.f./p.f.和c.d.f.，m.g.f.也是非常重要的分布标书工具，所以伯努利分布自然也有m.g.f.
$\begin {aligned} \psi(t)=E[e^{tX}]=p(e^{t\times 1})+(1-p)(e^{t\times 0}) &\text{ for } -\infty<t<\infty \end {aligned}$
这个写起来应该没啥难度，注意好 $X$ 就行，然后就是期望对应的概率值。

伯努利过程 Bernoulli Trials/Process

说到序列我就想起了数学分析，Tao的分析我们已经开始更新了，但是我想把概率基础部分先写完，然后一边研究数理统计一边写分析的博客，想到分析的原因是我看到了序列
如果一个序列不论是否有限，每一个元素都是独立同分布的（i.i.d.）的伯努利随机变量，那么我们就叫他们伯努利序列或者伯努利过程。

Definition Bernoulli Trails/Process.If the random variables in a finite or infinite sequence $X_1,X_2,\dots$ and i.i.d.,and if each random variable $X_i$ has the Bernoulli distribution with parameter p,then it is said that $X_1,X_2,\dots$ are Bernoulli trials with parameter $p$ .An infinite sequence of Bernoulli trials is also called a Bernoulli Process.

伯努利过程的例子最简单的就是连续丢同一枚硬币，组成的结果正反，就组成了伯努利过程。

二项分布 The Binomial Distributions

举个例子，这个例子和上面伯努利过程有关，连续生产一批零件，每个零件有一定的合格率，，所有零件组成的序列是一个伯努利过程，那么么我们想知道这些随机变量的和满足怎么样的分布。

Definition Binomial Distribution.A random variable $X$ has the binomial distribution with parameters $n$ and $p$ if $X$ has a discrete distribution for which the p.f. is as follow:
$\begin{cases} \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix} p^x(1-p)^{n-x }&\text{ for }x=0,1,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$
in this distribution , $n$ must be a positive integer, and $p$ must lie in the interval $0\leq p\leq 1$

这个定义确实是以定义的语言风格来写的，直接明了的告诉你，什么东西，叫什么名字，来源出处并不是定义要阐述的，但是我们要从理论上分析为啥这就是二项分布了呢？二项分布首先是因为这个分布产生系数和二项式系数一致，而且中有两个项，而其来源是多个独立同分布的伯努利分布随机变量求和结果。

注意：二项分布是概率论和数理统计的重要基础！

Theorem If the random varibales $X_1,\dots,X_n$ from $n$ Bernoulli trials with parameter $p$ ,and if $X=X_1+\dots+X_n$ ,then $X$ has the binomial distribution with parameters $n$ and $p$

这个定理的证明用到的是前面计数方法以及乘法法则，加法法则，也就是 $n$ 个样本中每一个都有 $p$ 的概率是1，其余是0，总和是 $x$ 的组合方法共有 $\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}$ 种，所以把这些种概率 $p^x(1-p)^{n-x }$ 相加就得到了结果，被定义为二项分布。

根据上面这条定理，我们可以很轻松的计算二项分布的数字特征了。终于知道学习那些数字特征的计算法则的用途了，下面将会非常简单。

期望 Expectation

随机变量 $X$ 是一个参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，那么其期望是：
$E(X)=\sum^{n}_{i=0}E(X_i)=np$
用到的法则：

独立的随机变量的和的期望，等于期望的和

方差 Variance

随机变量 $X$ 是一个参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，那么其方差是：
$Var(X)=\sum^{n}_{i=1}=np(1-p)$
用到的法则：

独立的随机变量的和的方差，等于方差的和

如果使用别的方法求方差会非常麻烦，比如定义或者 $Var(X)=E[X^2]-E^2[X]$ 别问我怎么知道的。

距生成函数 m.g.f.

随机变量 $X$ 是一个参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，那么其距生成函数是：
$\psi(t)=E(e^{tX})=\Pi^{n}_{i=1}E(e^{tX_i})=(pe^t+1-p)^n$
用到的法则：

独立的随机变量的和的m.g.f.，等于m.g.f.的累积

二项分布随机变量相加

Theorem If $X_1,\dots,X_n$ are independent random varibales,and if $X_i$ has the binomial distribution with parameters $n_i$ and $p$ ( $i=1,\dots,k$ ) ,then the sum $X_1+\dots+X_k$ has the binomial distribution with parameters $n=n_1+\dots+n_k$ and $p$ .