线性筛法求素数（欧拉筛法）（求质数，O(n)时间复杂度）（外加求每个整数的最小质因子）（python）

本文主要是介绍线性筛法求素数（欧拉筛法）（求质数，O(n)时间复杂度）（外加求每个整数的最小质因子）（python），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言：

python 中求质数的方法有好几种，这里就讲解时间复杂度最低的算法欧拉筛法，时间复杂度为O(n)，这是数论中也是算法比赛中必须掌握的方法。

本篇博客还会额外讲解求每个整数的最小质因子，什么是质因子？顾名思义，就是是质数的因子，求这个有什么用呢？下篇博客X的因子链（数论，python）（算术基本定理）（欧拉筛法）会给大家讲解一道例题，在例题中讲解它的用法。

思路：

线性筛法的整体思路是（代码里有详细注释）：

初始化一个长度为 n 的数组，再定义一个长度为n的bool类型数组，用来表示每个数是否为素数，为True表示不是素数
从2遍历到n，判断是否为素数（bool类型是否为False），若是素数，则将它的倍数标记为True

代码如下：

N = 10000
prime = [0] * N  # 存储所有的质数
cnt = 0  # 质数的个数
vis = [False] * N  # 标记数是否被筛过
for i in range(2, N):if not vis[i]:prime[cnt] = i  # 将当前数 i 记录为质数cnt += 1for j in range(cnt):if prime[j] * i >= N:  # 如果超出n 则无需后续操作直接退出循环breakvis[prime[j] * i] = True  # 标记 i*prime[j] 已经被筛过# 如果i是前面某个素数的倍数时, 说明i以后会由某个更大的数乘这个小素数筛去同理,# 之后的筛数也是没有必要的, 因此在这个时候, 就可以跳出循环了if i % prime[j] == 0:break

欧拉算法的特点就是每个数只会被自己的最小质因数筛过一次，所以由此保证了线性的时间复杂度。

求最小质因子只需在求素数的基础上加上两行代码即可

首先分析质数和非质数的最小质因子是什么。

质数的最小质因子是它本身（因为1是因子但不是质数）
非质数的最小质因子是什么呢？按正常思路分析不好得出结论，但在求素数的过程中有一步是对质数的倍数进行标记，通过这一步就可以判断出非质数的最小质因子是什么了。

代码如下：

N = 10000
prime = [0] * N  # 存储所有的质数
cnt = 0  # 质数的个数
vis = [False] * N  # 标记数是否被筛过
st = [0] * N  # 存储数的最小质因数for i in range(2, N):if not vis[i]:prime[cnt] = i  # 将当前数 i 记录为质数st[i] = i  # 当前数 i 的最小质因数为自身cnt += 1for j in range(cnt):if prime[j] * i >= N:  # 如果超出n 则无需后续操作直接退出循环breakst[prime[j] * i] = prime[j]  # 将 i*prime[j] 的最小质因数标记为 prime[j]vis[prime[j] * i] = True  # 标记 i*prime[j] 已经被筛过# 如果i是前面某个素数的倍数时, 说明i以后会由某个更大的数乘这个小素数筛去同理,# 之后的筛数也是没有必要的, 因此在这个时候, 就可以跳出循环了if i % prime[j] == 0:break