高等代数复习：矩阵的满秩分解

本文主要是介绍高等代数复习：矩阵的满秩分解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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矩阵的满秩分解

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

矩阵的满秩分解

定义：矩阵的左逆、右逆
设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵

若 $r (A) = n$ ，即 $A$ 列满秩，则存在秩为 $n$ 的 $n\times m$ 行满秩矩阵 $B$ ，使得 $BA=I_n$ ，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的左逆
若 $r (A) = m$ ，即 $A$ 行满秩，则存在秩为 $m$ 的 $n\times m$ 列满秩矩阵 $C$ ，使得 $AC=I_m$ ，矩阵 $C$ 称为 $A$ 的右逆

证明思路
结论1：由相抵标准型理论，存在可逆阵 $P, Q$ ，使得 $PAQ=\begin{pmatrix} I_n\\O\\ \end{pmatrix}\Rightarrow (I_n| O)PAQ=I_n\\\Rightarrow (I_n |O)PA=Q^{-1}\Rightarrow Q(I_n| O)PA=I_n$ 结论 2类似

定义：矩阵的满秩分解
设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，其秩为 $r$
则存在秩为 $r$ 的 $m\times r$ 列满秩矩阵 $B$ ，和秩为 $r$ 的 $r\times n$ 行满秩矩阵 $C$ ，使得 $A = BC$ 这称为 $A$ 的满秩分解

证明思路
考虑 $A$ 的相抵标准型，容易得到
$A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}Q$

命题：满秩分解的唯一性
若 $A$ 有两个满秩分解 $A=B_1C_1=B_2C_2$ ，则存在 $r$ 阶非异阵 $P$ ，使得 $B_2=B_1P,C_2=P^{-1}C_1$

证明思路
考虑 $B_2$ 的左逆 $P$ 和 $C_2$ 的右逆 $Q$ ，注意到
$B_2=B_2(C_2Q)=(B_2C_2)Q=(B_1C_1)Q=B_1(C_1Q)$ $C_2=(PB_2)C_2=P(B_2C_2)=P(B_1C_1)=(PB_1)C_1$ $PB_1)(C_1Q)=P(B_1C_1)Q=P(B_2C_2)Q=(PB_2)(C_2Q)=I_r$

命题：满秩分解的几何意义
下列等价：

$A = BC$ 是满秩分解
$B$ 的 $r$ 个列向量是 $A$ 的 $n$ 个列向量所张成的线性空间的一组基
$C$ 的 $r$ 个行向量是 $A$ 的 $m$ 个行向量所张成的线性空间的一组基

证明思路
将 $A = BC$ 写成对应线性方程组的形式即可看出

命题：幂等矩阵关于满秩分解的刻画
设 $n$ 阶方阵 $A$ ，其秩为 $r$ ，则 $A$ 是幂等矩阵当且仅当存在秩为 $r$ 的 $n\times r$ 矩阵 $S$ 和秩为 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵 $T$ ，使得 $A=ST,TS=I_r$

证明思路
充分性显然，必要性：考虑 $A$ 的相抵标准型
$A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q$ 由 $A^2=A$ 得到
$\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}QP\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}$ 则只需令
$S=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q$