0105行列式按行(列)展开-行列式-线性代数

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在n阶行列式中，把 $i,j)元a_{ij}$ 所在的第 $i 行和第 j$ 列划去后，留下来的 $n - 1$ 阶行列式叫做 $i,j)元a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ；记 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},A_{ij}叫做(i,j)元a_{ij}$ 的代数余子式。

引理一个n阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $i,j)元a_{ij}$ 外都是零，那么这行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积，即

$D=a_{ij}A_{ij}$

$证明：\\ 先证明(i,j)=(1,1)的情形，此时\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这是上一节例10，k=1的情形，按例10的结论，有\\ D=a_{11}M_{11}\\ 又A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}\\ \therefore D=a_{11}A_{11}=a_{11}M_{11}\\ 在证一般情形，此时\\ \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 把第i行依次与第i-1,i-2,\cdots,1行做交换；然后把第j列依次与第j-1，j-2，\cdots列做交换\\ 这样数a_{ij}换成(1,1)元，经过的交换次数为i+j-2，所得行列式D_1\\ 有D_1=(-1)^{i+j-2}D=(-1)^{i+j}D\\ D_1中(1,1)的余子式就是D中(i,j)元的余子式M_{ij}\\ D=(-1)^{i+j}D_1=(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=a_{ij}A_{ij}$

定理2 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2, \cdots,n)$ 或者

$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2, \cdots,n)$

$证明：\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}+0+\cdots+0&0+a_{i2}+\cdots+0&\cdots&0+\cdots+0+a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&a_{i2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\cdots+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 根据引理，有 D=a_{i1}A_{ij}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2,\cdots,n)\\ 类似地，若按列证明，可得\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,\cdots,n)$

例7 计算 $D=\begin{vmatrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3\\ \end{vmatrix}$
$解：\\ D\overset{c_1-2c_3,c_4+c_3}{=}\begin{vmatrix} 5&1&-1&1\\ -11&1&3&-1\\ 0&0&1&0\\ -5&-5&3&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -11&1&-1\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ \overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -6&2&0\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -6&2\\ -5&-5\\ \end{vmatrix}\\ =30+10=40$

例12 证明范德蒙德行列式

$D_n=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{n\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j)$
$证明：\\ 用数学归纳法\\ \because D_2=\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2\\ \end{vmatrix} =x_2-x_1=\prod_{2\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j)\\ \therefore 当n=2时，等式成立\\ 现在假设当等式与n-1阶范德蒙德行列式成立，要证等式对于n阶范德蒙德行列式成立。\\ 把D_n降阶：从第n行开始，后行减去前行的x_1倍，有\\ D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1&\cdots&x_n-x_1\\ 0&x_2(x_2-x_1)&x_3(x_3-x_1)&\cdots&x_n(x_n-x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x_2^{n-2}(x_2-x_1)&x_3^{n-2}(x_3-x_1)&\cdots&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\ \end{vmatrix}\\ 按第一列展开，并把每列的公因子(x_i-x_j)提出，有\\ D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_2&x_3&\cdots&x_n\\ x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&\cdots&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}\\ 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(x_i-x_j)因子的乘积，其中n\ge i\gt j\ge2\\ 故 D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n\ge i\gt j\ge2}(x_i-x_j)\\ =\prod_{n\ge i\gt j\ge 1}(x_i-x_j)$

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j$

或 $a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j$

$证明：\\ 设有n阶行列式D=det(a_{ij})，按第j行展开式为\\ D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+\cdots+a_{jn}A_{jn}\\ 因诸A_{jk}(k=1,2,\cdots n)都是先划去了D中第j行在经计算而得\\ 所以当第j行元素依次取b_1,b_2,\cdots,b_n时，就有\\ D_j=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j-1,1}&\cdots&a_{j-1,n}\\ b_1&\cdots&b_n\\ a_{j+1,1}&\cdots&a_{j+1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这里D_j表示除第j行外其余行均与D相同的行列式。特别当b_1,b_2,\cdots,b_n依次取D=det(a_{ij})的第i行(i\not=j)时\\ 上式扔成立，此时D_j中第i行与第j行相同，故D_j=0\\ \therefore a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0(i\not=j) 类似地，对于列也成立。$

综合定理2及其推论，有关于代数余子式的重要性质：
$\sum_{k=1}^n{a_{ki}A_{kj}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases}\\ 或\sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{jk}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases}$

例13 设

$D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\$

$D 的元 (i, j)$ 的余子式和代数余子式依次记作 $M_{ij}和A_{ij}$ 求

$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}及M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$
$解：\\ A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}\\ =\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r3-r1,r_4+r1}{=}\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-2&2&0&2\\3&-3&0&-2\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}1&1&-5\\-2&2&2\\3&-3&-2\end{vmatrix}\\ \overset{c_1+c_2}{=}\begin{vmatrix}2&1&-5\\0&2&2\\0&-3&-2\end{vmatrix}=4\\ M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}=\\ \begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\-1&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r_4+r_3}{=}\begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\0&-1&0&0\end{vmatrix}\\ =-\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ \overset{r_1-2r_3}{=}-\begin{vmatrix}-1&0&-5\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ =0$