考研 | 高等数学 Chapter4 不定积分

2024-03-13 12:10

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考研 | 高等数学 Chapter4 不定积分

文章目录

  • 考研 | 高等数学 Chapter4 不定积分
  • I. 定义
  • II. 不定积分工具
    • a. 基本公式
    • b. 积分法
      • case1: 第一类换元积分法
      • case2: 第二类换元积分法
        • 1. **无理变有理**
        • 2. **三角代换, 平方和平方差**
        • 3. **分部积分法**
  • III. 特殊函数的不定积分
    • a. 有理函数
      • case1: 假分式
      • case2: 真分式
    • b. 无理函数
    • c. 三角有理函数不定积分

I. 定义

  1. 原函数 — If F ′ ( x ) = f ( x ) , F ( x ) 称为 f ( x ) 原函数 F'(x)=f(x), F(x) 称为 f(x) 原函数 F(x)=f(x),F(x)称为f(x)原函数
  2. 不定积分 — 设 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数 , F ( x ) + C 称为 f ( x ) 的不定积分 F(x) 为 f(x)的一个原函数, F(x)+C 称为f(x)的不定积分 F(x)f(x)的一个原函数,F(x)+C称为f(x)的不定积分
  3. Notes:
    1. f ( x ) ∃ ⇒ ∃ f(x) \exists\ \ \Rightarrow\exists f(x)  无数个原函数
    2. 任意两个原函数之差为常数
    3. f ( x ) 连续   ⇒ ∃ f(x) 连续\ \ \Rightarrow\ \ \exists f(x)连续    原函数

II. 不定积分工具

a. 基本公式

  1. ∫ k d x = k x + C \int k dx=kx+C kdx=kx+C
  2. 幂函数
    1. ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C ; ( a ≠ 1 ) \int x^a dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C;\quad (a \neq 1) xadx=a+11xa+1+C;(a=1)
    2. ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C \int \frac1x dx=\ln |x|+C x1dx=lnx+C
  3. 指数函数
    1. ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C ; ( a ≠ 1 ) \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a} + C;\quad (a \neq 1) axdx=lnaax+C;(a=1)
    2. ∫ 1 x d x = x + C \int 1^x dx=x+C 1xdx=x+C
  4. 三角函数
    ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C \int \sin x dx = -\cos x + C sinxdx=cosx+C ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C \int \cos x dx = \sin x + C cosxdx=sinx+C
    ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C \int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C tanxdx=lncosx+C ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C cotxdx=lnsinx+C
    ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C secxdx=lnsecx+tanx+C ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C \int \csc x dx = \ln |\csc x-\cot x| + C cscxdx=lncscxcotx+C
    ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C \int \sec ^2x dx = \tan x + C sec2xdx=tanx+C ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C \int \csc ^2x dx = -\cot x + C csc2xdx=cotx+C
    ∫ sec ⁡ ( tan ⁡ x ) d x = sec ⁡ x + C \int \sec (\tan x) dx = \sec x + C sec(tanx)dx=secx+C ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C \int \csc x\cot x dx = -\csc x + C cscxcotxdx=cscx+C
  5. 平方和平方差
    ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C 1x2 1dx=arcsinx+C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin \frac xa + C a2x2 1dx=arcsinax+C
    ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C \int \frac1{1+x^2} dx = \arctan x + C 1+x21dx=arctanx+C ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C \int \frac1{a^2+x^2} dx = \frac1a\arctan \frac xa + C a2+x21dx=a1arctanax+C
    ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C \int \frac1{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C x2+a2 1dx=ln(x+x2+a2 )+C ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 − a 2 ) + C \int \frac1{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln(x+\sqrt{x^2-a^2}) + C x2a2 1dx=ln(x+x2a2 )+C
    ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C \int \frac1{x^2-a^2} dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C x2a21dx=2a1lnx+axa+C ∫ a 2 − x d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x 2 a 2 − x 2 + C \int \sqrt{a^2-x} dx = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa + \frac x2\sqrt{a^2-x^2} + C a2x dx=2a2arcsinax+2xa2x2 +C

b. 积分法

case1: 第一类换元积分法

在这里插入图片描述

case2: 第二类换元积分法

1. 无理变有理

在这里插入图片描述

2. 三角代换, 平方和平方差

涉及到:
1. a 2 − x 2 ⇒ x = a sin ⁡ t ⇒ a cos ⁡ t \sqrt{a^2-x^2}\quad\Rightarrow\quad x=a\sin t \quad\Rightarrow\quad a\cos t a2x2 x=asintacost
2. a 2 + x 2 ⇒ x = a tan ⁡ t ⇒ a sec ⁡ t \sqrt{a^2+x^2}\quad\Rightarrow\quad x=a\tan t \quad\Rightarrow\quad a\sec t a2+x2 x=atantasect
3. x 2 − a 2 ⇒ x = a sec ⁡ t ⇒ a tan ⁡ t \sqrt{x^2-a^2}\quad\Rightarrow\quad x=a\sec t \quad\Rightarrow\quad a\tan t x2a2 x=asectatant
在这里插入图片描述

3. 分部积分法

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ ∫ ( u v ) ′ d x = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x u v = ∫ v d u + ∫ u d v ∫ u d v = u v − ∫ v d u \begin{aligned} (uv)'&=u'v+uv' \\ \int (uv)' dx &= \int u'v dx + \int uv'dx \\ uv &= \int v du + \int u dv \\ \int u dv &= uv - \int v du \end{aligned} (uv)(uv)dxuvudv=uv+uv=uvdx+uvdx=vdu+udv=uvvdu

  1. ∫ 幂 ∗ 指 d x \int 幂*指 dx dx, 留幂函数
    在这里插入图片描述

  2. ∫ 幂 ∗ 对数 d x \int 幂*对数 dx 对数dx, 留对数
    在这里插入图片描述

  3. ∫ 幂 ∗ 三角 d x \int 幂*三角 dx 三角dx
    Notes:

    1. 三角函数 sin ⁡ cos ⁡ \sin\cos sincos必须是一次
      在这里插入图片描述
    2. 如果遇到 sin ⁡ 2 cos ⁡ 2 \sin^2\cos^2 sin2cos2用半角公式降次
      sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ ( 2 x ) = cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x \sin(2x)=2\sin x\cos x \\\cos(2x)=\cos^2 x + \sin^2 x sin(2x)=2sinxcosxcos(2x)=cos2x+sin2x
      在这里插入图片描述
    3. 如果遇到 tan ⁡ cot ⁡ sec ⁡ cot ⁡ \tan\cot\sec\cot tancotseccot等可以允许偶数次
      在这里插入图片描述
  4. ∫ 幂 ∗ 反三角 d x \int 幂*反三角 dx 反三角dx, 留反三角函数
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

  5. ∫ e a x ∗ sin ⁡ b x \int e^{ax}*\sin bx eaxsinbx ∫ e a x ∗ cos ⁡ b x \int e^{ax}*\cos bx eaxcosbx, 留三角函数
    在这里插入图片描述

  6. ∫ sec ⁡ n x d x \int \sec^nx dx secnxdx ∫ csc ⁡ n x d x \int \csc^n xdx cscnxdx, 其中 n n n 为奇数
    在这里插入图片描述

  7. ∫ sec ⁡ n x d x \int \sec^nx dx secnxdx ∫ csc ⁡ n x d x \int \csc^n xdx cscnxdx, 其中 n n n 为偶数
    在这里插入图片描述

III. 特殊函数的不定积分

a. 有理函数

定义: 被积函数 R ( x ) R(x) R(x) 为有理函数, 其中 R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} R(x)=Q(x)P(x), 其中 P ( x ) Q ( x ) P(x)Q(x) P(x)Q(x) 分别为多项式
P ( x ) 最大次数 < Q ( x ) 最大次数 P(x)最大次数 < Q(x)最大次数 P(x)最大次数<Q(x)最大次数, R ( x ) R(x) R(x) 为真分式
P ( x ) 最大次数 ≥ Q ( x ) 最大次数 P(x)最大次数 \geq Q(x)最大次数 P(x)最大次数Q(x)最大次数, R ( x ) R(x) R(x) 为假分式

case1: 假分式

思路: 将假分式转成多项式+真分式
在这里插入图片描述

case2: 真分式

思路: 1. 分子不动; 2. 分母因式分解拆成部分和
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

b. 无理函数

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
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c. 三角有理函数不定积分

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