【高等数学学习记录】映射

本文主要是介绍【高等数学学习记录】映射，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

【高等数学&学习记录】映射

从事测绘工作多年，深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。
为此，打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功，为测绘工作赋能。

在这里插入图片描述

映射
设 $X$ 、 $Y$ 是非空集合，若存在法则 $f$ ，使 $X$ 中每个元素 $x$ ，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作 $f:X\rightarrow Y$ 。
像
元素 $y$ 称为元素 $x$ （在映射 $f$ 下）的像，记作 $f (x)$ ，即 $y = f (x)$ 。
原像
元素 $x$ 称为元素 $y$ （在映射 $f$ 下）的一个原像。
定义域
集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$ ，即 $D_f=X$ 。
值域
$X$ 中所有元素的像组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f (X)$ ，即 $R_f=f(X)=\lbrace f(x)|x\in X \rbrace$ 。
像和原像的关系
对每个 $x\in X$ ，其像 $y$ 是唯一的；而对每个 $y\in R_f$ ，其原像不一定是唯一的。
值域与集合 $Y$ 的关系
值域 $R_f$ 是 $Y$ 的一个子集，即 $R_f\subset Y$ ，不一定 $R_f=Y$ 。
满射
若 $R_f=Y$ ，即 $Y$ 中任一元素 $y$ 都是 $X$ 中某元素的像，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 上的满射。
单射
若 $X$ 中任意两个不同的元素 $x_1\neq x_2$ ，其像 $f(x_1)\neq f(x_2)$ ，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射。
一一映射（双射）
若映射 $f$ 既是单射，又是满射，则称 $f$ 为一一映射或双射。

逆映射
- 设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射。
- 定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g$ ，即 $g:R_f\rightarrow X$ ，对每个 $y\in R_f$ ，规定 $g (y) = x$ ，这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$ 。
- 其定义域 $D_{f^{-1}}=R_f$ ，值域 $R_{f^{-1}}=X$ 。
复合映射
- 设有两个映射 $g:X\rightarrow Y_1$ 、 $f:Y_2\rightarrow Z$ ，其中 $Y_1\subset Y_2$ 。
- 则由映射 $g$ 和 $f$ 可以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则，它将每个 $x\in X$ 映成 $f(g(x))\in Z$ 。
- 这个对应法则确定了一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射，这个映射称为映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射，记作 $g\circ f$ 。

【题目】
设映射 $f:X\rightarrow Y,A\subset X,B\subset X$ ，证明：
(1) $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$
(2) $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$
【证明（1）】
$\because A\sub X, B\subset X$
$\therefore (A\cup B)\subset X$
$\therefore f(A\cup B)$ 有意义

$\because \forall a\in A,\exist f(a)\in f(A)$
$\quad \forall b\in B,\exist f(b)\in f(B)$
$\therefore \forall x\in A\cup B,\exist f(x)\in f(A)\cup f(B)$
结论1： $\therefore f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B)$

$\because f(A)\subset f(A\cup B),f(B)\subset f(A\cup B)$
结论2： $\therefore f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$

由结论1和结论2可得， $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ 。
【证明（2）】
$\because \forall x\in A\cap B$ 即 $x\in A$ 且 $x\in B$
$\quad \exist f(x)\in f(A)$ 且 $f(x)\in f(B)$
$\therefore f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$
【学习资料】
《高等数学（第六版）》上册，同济大学数学系编