2020张宇1000题【好题收集】【第三章：一元函数积分学】

本文主要是介绍2020张宇1000题【好题收集】【第三章：一元函数积分学】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

三.一元函数积分学

性质概念

3.2（结论）

$$f(x)以T为周期,证明:{\int }_0^{T}f(x)dx=0\iff {\int }_0^{x}f(t)dt以t为周期$$
这个结论以前没怎么见过，但是很好想，比如三角函数$sin,cos$就是，一个周期内积分值是0，并且原函数的周期不变

$\because {\int }_0^{x}f(t)dt以T为周期$
$$\therefore {\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^{x+T}f(t)dt\Rightarrow {\int }_0^{x+T}f(t)dt-{\int }_0^{x}f(t)dt=0\Rightarrow {\int }_x^{x+T}f(t)dt=0\Rightarrow {\int }_0^{T}f(t)dt=0$$
证明必要性就反过来推

【导函数与原函数的周期性】

设f(x)=F’(x)为原函数
$$f(x)以T为周期\stackrel{{\int }_a^{a+T}f(x)dx=0}{\Rightarrow }F(x)以T为周期，$$因为不等于0的话，积分起来就要么是越来越多，或者越来越少，就不能是周期函数了，上面箭头的条件也阔以是：$f(x)是奇函数$
$$F(x)以T为周期\Rightarrow f(x)以T为周期$$

3.4

$$F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{e}^{sint}sintdt,则F(x)的值（）$$
A.为正的常数
B.为负的常数
C.恒为0
D.不为常数

$sin$拿进去然后分部积分竟然阔以化为${\int }_0^{2\pi }{e}^{sint}co{s}^{2}tdt$，所以恒正咯

3.7

$$f(x)的周期T=2,G(x)=2{\int }_0^{x}f(t)dt-x{\int }_0^{2}f(t)dt,问G(x)和G^{\prime }(x)是否是周期函数$$
$G^{\prime }(x)$就是求个导一看就能看出来，但是$G(x)$喃，感觉就不好弄
这种题我不熟练，多弄一弄哇~

$$G(x+2)=2{\int }_0^{x+2}f(t)dt-(x+2){\int }_0^{2}f(t)dt=第一项换元，令u=t-2,原式=2{\int }_{-2}^{x}f(u+2)du-(x+2){\int }_0^{2}f(t)dt然后拆开=2{\int }_{-2}^{0}f(u)du+2{\int }_0^{x}f(u)du-x{\int }_0^{2}f(t)dt-2{\int }_0^{2}f(t)dt=2{\int }_{-2}^{0}f(u)du+G(x)-2{\int }_0^{2}f(t)dt=G(x)$$
所以是周期函数
哎，这种题要是化了半天化不出来，也不知道是自己没化对还是本来就不是周期函数怎么办T_T

一元积分比大小

3.10

$$I_k={\int }_0^{k\pi }{e}^{x^2}sinxdx,则I_1,I_2,I_3的大小关系是？$$

题感觉很巧诶~
$I_2=I_1+{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}sinxdx$
$\because sinx在(\pi ,2\pi )是负的，而指数是正的，所以整体就是负的函数，所以积分出来就是负的\Rightarrow I_2<I_1$

然后。。。放大招了~
$I_3=I_1+{\int }_{\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}sinxdx$
$${\int }_{\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}sinxdx={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}sinxdx+{\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}sinxdx第二项令x=u+\pi ,原式={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}sinxdx+{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(u+\pi {)}^2}sin(u+\pi )du={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}sinxdx+{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(x+\pi {)}^2}[-sin(x)]dx={\int }_{\pi }^{2\pi }[e^{x^2}-e^{(\pi +x{)}^2}]sinxdx,指数是负的，sinx也是负的，所以整体是正的\Rightarrow I_3>I_1$$

3.13

$$\alpha >0,I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{1+x^{\alpha }}dx,I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{1+x^{\alpha }}dx,比较大小$$

这题答案推推推的很复杂后面，主要思路就是$I=I_1-I_2$，然后把$I$拆成${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$两坨，然后后面那一坨换元弄成${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}$
为啥喃？因为只有在$(0,\frac{\pi }{4})$里面$sin和cos才好比较大小$
后面化得很复杂~

定积分定义计算

3.17

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{e}^{-x}x不等于0\\ \\ {\lim }_{n\to \infty }2[\frac{n}{(n+1{)}^2}+\frac{n}{(n+2{)}^2}+\frac{n}{(n+3{)}^2}+...+\frac{n}{(n+n{)}^2}],x=0\end{array}求f^{\prime }(0)$$
写这道题的原因是我有个疑问，就是像这种题
$f(x)=\{\begin{array}{c}{f}_1(x),x不等于0\\ \\ f_2(x),x=0\end{array}$
在求$f^{\prime }(0)$的时候，有两种方法
$f^{\prime }(0)=\{\begin{array}{c}{\lim }_{x\to 0}{f}_1^{\prime }(x)\\ \\ {\lim }_{x\to 0}\frac{f_1(x)-f_2(0)}{x-0}\end{array}$
就是用公式和用定义的区别，此题就是用的定义来做的，因此先要把$f_2(0)$算出来
但是为啥么不能用第一种喃？而且答案算出来也是对的，但是用第一种此题就没意思了

3.22

$$f(x)=\{\begin{array}{c}{\lim }_{n\to \infty }\frac{|x{|}^{\frac{1}{n}}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{|x{|}^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{2}{n}}+\frac{|x{|}^{\frac{3}{n}}}{n+\frac{3}{n}}+...+\frac{|x{|}^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{n}{n}},x不等于0\\ \\ 0x=0\end{array}求f^{\prime }(x)$$
这题灰常好，分类讨论有点好
①：$当x=0时$
②：$当|x|=1时$
③：$当x不等于0且x不等于1时$
前两种比较简单，只看第三种
$$令I=\sum _{k=1}^n\frac{|x{|}^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{k}{n}},然后开始放缩I_1=\sum _{k=1}^n\frac{|x{|}^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{n}{n}}=\sum _{k=1}^n\frac{|x{|}^{\frac{k}{n}}}{n+1},I_2=\sum _{k=1}^n\frac{|x{|}^{\frac{k}{n}}}{n}$$

$\therefore I_1<I<I_2$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_2=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{|x{|}^{\frac{k}{n}}}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n|x{|}^{\frac{k}{n}}\frac{1}{n}={\int }_0^1|x{|}^{t}dt=\frac{|x|-1}{ln|x|}$$
$I_1$也是同样用化成积分算

但是为啥看成$q=|x{|}^{\frac{1}{n}},a_1=|x{|}^{\frac{1}{n}}$的等比数列来计算就不对了喃？
比如$I_2算出来就是$
I 2 = ∣ x ∣ 1 n ( 1 − ( ∣ x ∣ 1 n ) n ) 1 − ∣ x ∣ 1 n = ∣ x ∣ 1 n ( 1 − ∣ x ∣ ) 1 − ∣ x ∣ 1 n I_2=\frac{|x|^{\frac{1}{n}}(1-(|x|^{\frac{1}{n}})^n)}{1-|x|^{\frac{1}{n}}}=\frac{|x|^{\frac{1}{n}}(1-|x|)}{1-|x|^{\frac{1}{n}}} I2​=1−∣x∣n1<

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