李宏毅机器学习课程笔记2：Classification、Logistic Regression、Brief Introduction of Deep Learning

台湾大学李宏毅老师的机器学习课程是一份非常好的ML/DL入门资料，李宏毅老师将课程录像上传到了YouTube，地址：NTUEE ML 2016 。
这篇文章是学习本课程第4-6课所做的笔记和自己的理解。

Lecture 4: Classification: Probabilistic Generative Model

以根据宝可梦各属性值预测其类型为例说明分类问题。
训练数据是若干宝可梦的各属性值及其类型。

1、分类问题不能被视为回归问题
以二类分类为例，离决策边界过远的点“过于正确”造成error很大，从而对决策边界造成影响，导致误分类。
多类分类问题，若把各类的target设成1，2，3……也是有问题的，因为这样做暗含了各类的target是有大小远近关系的。

2、给宝可梦分类的初步想法
假设现在宝可梦只有两类，要预测x属于哪类，若P(C1|x)>0.5则属于第一类，否则属于第二类。
计算P(C1|x)要用到贝叶斯公式，对Generative Model，P(x)=P(x|C1)P(C1)+P(x|C2)P(C2)是可算的，从训练数据中估计P(C1)、P(C2)、P(x|C1)、P(x|C2)这四个值。
P(C1)、P(C2)容易估计，算一下训练数据里两类各占多少就可以了。
要估计P(x|C1)、P(x|C2)就需要做一些假设。
我们假设训练数据中所有的第一类/第二类数据，都是分别从两类对应的高斯分布产生的。
理论上任何参数（$\mu, \sum$）的高斯分布都可以产生训练数据，只是likelihood不同。
用最大似然的方法可以得出，使得似然函数最大的参数（$\mu^*, \sum^*$）分别是训练数据中该类数据的平均值和协方差矩阵。
这样就可以求得P(C1|x)了。
在考虑了宝可梦的7种特征的情况下，这样的分类方法在测试集上的正确率只有54%。

3、改进模型
在上面的方法中，$\sum$ 的大小与输入特征的维度的平方成正比。如果两类各自的高斯分布的$\sum$ 不同的话，模型参数太多，容易过拟合。所以让两个$\sum$ 相等，都等于$\sum = P(C_1)\sum_1 + P(C_2)\sum_2$ 。
这样做，把准确率从54%提高到了73%。

4、在假设数据分布时，可以用你喜欢的分布。
如，假设特征的各个维度是独立的，得到朴素贝叶斯分类器。或者，对于二值特征，假设其来自于伯努利分布。

5、最后做了一些数学推导：
令 $P(C_1|x) = \sigma (z)$ （$\sigma()$ 表示sigmoid函数），那么在$\sum_1 =\sum_2 = \sum$ 时，$z$ 可以表示为$w·x + b$ 。
所以，在$\sum_1 =\sum_2 = \sum$ 时，分类器有线性边界。
在生成模型中，我们通过估计$N_1,N_2,\mu_1,\mu_2,\sum$ 来得到$w,b$ 。

Lecture 5: Logistic Regression

比较逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression

上节课说道，$P(C_1|x) = \sigma (z) = \sigma(w·x + b)$ 。$w,b$ 取任意值就构成了function set。

这就得到了逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在Step 1（选择model）时的区别。

接下来Step 2，评价函数好坏。对训练数据(x1,C1)(x2,C1)(x3,C2)……用$\hat y = 1$ 表示C1，用$\hat y = 0$ 表示C2。那么似然函数可以表示为

（第二行等号右侧缺少一个负号）
最大化似然函数即是最小化交叉熵。交叉熵代表两个分布有多接近，若两个分布完全一样则交叉熵等于0。
这样就得到了逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在Step 2（评价函数好坏）时的区别。

接下来Step 3, find the best function，用梯度下降，得到参数更新公式：

对这一结果的直观理解是：模型结果与目标差距越大，参数更新幅度就越大。
逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在用梯度下降法更新参数时公式相同。

Logistic Regression损失函数的选取

为什么Logistic Regression用交叉熵损失而不用平方误差损失呢？
如果用平方误差损失，在计算损失函数对参数的微分时会出现如下情况：


说明，在结果 far from target 时，微分很小。
为了更形象的说明问题，将交叉熵损失/平方误差损失与参数之间的关系画出来：

离目标远，cross entropy微分大，square error微分小。
离目标近，cross entropy微分小，square error微分小。
不管离目标远还是近，square error微分都小。所以微分小的时候，不知道离目标远还是近。
用cross entropy可以让training顺利很多。

判别方法 v.s. 生成方法

这节课的判别方法，与上节课的生成方法，模型是一样的，都是

判别方法，通过梯度下降，直接找到$w,b$。
生成方法，通过估计$N_1,N_2,\mu_1,\mu_2,\sum$ 来得到$w,b$ 。
同样的模型，同样的训练数据，采用两种方法所得结果（$w,b$）不同。因为生成方法对概率分布做了假设。
哪个更好？Discriminative model 常比Generative model表现更好。下面是一个简单例子：

朴素贝叶斯的结果是Class 2。

生成模型在一些情况下相对判别模型是有优势的：
1、训练数据较少时。判别模型的表现受数据量影响较大，而生成模型受数据量影响较小。
2、label有噪声时。生成模型的假设（“脑补”）反而可以把数据中的问题忽视掉。
3、判别模型直接求后验概率，而生成模型将后验概率拆成先验和似然，而先验和似然可能来自不同来源。以语音识别（生成模型）为例，DNN只是其中一部分，还需要从大量文本（不需要语音）中计算一句话说出来的先验概率。

Multi-class Classification

在做Multi-class Classification时，需要softmax。原因可参考Bishop P209-210，或Google “maximum entropy”。

最小化交叉熵，等价于最大化似然函数。

Logistic Regression的局限性

不能表示XOR。（边界是直线。）
解决方法：做feature transformation. (Not always easy to find a good transformation.)
希望机器自己找到 transformation：把多个Logistic Regression接起来。

一个Logistic Regression的input可以是其它Logistic Regression的output；一个Logistic Regression的output可以是其它Logistic Regression的input。这样，我们就得到了Neural Network，其中每个Logistic Regression叫做一个Neuron.

Lecture 6: Brief Introduction of Deep Learning

Step 1: function set

Neuron之间采用不同的连接方式，就会得到不同的网络结构。
给定了网络结构，就定义了一个function set。
给定了网络结构并给定了参数，网络就是一个函数：输入输出都是向量。

在output layer之前的部分，可以看做特征提取。output layer是Multi-class Classifier.

Step 2: goodness of function

Step 3: pick the best function

Gradient Descent

李宏毅机器学习课程笔记

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李宏毅机器学习课程笔记7：Transfer Learning、SVM、Structured Learning - Introduction
李宏毅机器学习课程笔记8：Structured Learning - Linear Model、Structured SVM、Sequence Labeling
李宏毅机器学习课程笔记9：Recurrent Neural Network
李宏毅机器学习课程笔记10：Ensemble、Deep Reinforcement Learning