正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)的MATLAB实现

2024-02-22 20:12

本文主要是介绍正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)的MATLAB实现,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

压缩感知(Compressed Sensing, CS)是一种利用稀疏信号的先验知识,用远少于奈奎斯特采样定理要求的样本数目恢复整个信号的技术。正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)是一种常见的贪婪算法(Greedy algorithm),用于解决压缩感知中的信号重构问题。OMP算法试图找到一组稀疏基,这些基与测量值之间有最大的相关性,并且用于迭代地重构原始信号。

OMP算法

下面是OMP算法的简要步骤:

  1. 初始化残差 ( r_0 = y ),其中 ( y ) 是测量向量,稀疏性基矩阵 ( \Phi ),观测矩阵 ( \Psi ),支撑集 ( \Lambda = \emptyset )(选择的基函数的索引集),和迭代计数器 ( k = 0 )。

  2. 找到与当前残差最相关的列向量(原子) ( \phi_i )
    ( i = \arg\max_{j} | \langle r_k, \phi_j \rangle | )。

  3. 将选中的索引 ( i ) 加到支撑集 ( \Lambda ) 中 ( \Lambda = \Lambda \cup {i} )。

  4. 用最小二乘法从支撑集( \Lambda )上的列构建信号的近似解,即解线性方程 ( \Psi_{\Lambda} x’ = y ),得到( x’{\Lambda} ),在( \Lambda )上的系数,其中 ( \Psi{\Lambda} ) 表示 ( \Psi ) 的列仅包含 ( \Lambda ) 中索引对应的列。

  5. 更新残差 ( r_{k+1} = y - \Psi_{\Lambda} x’ )。

  6. 检查结束条件(例如,残差足够小,( ||r_{k+1}||_2 < \epsilon ) 或已达到预定的迭代次数)。如果未达到结束条件,( k = k + 1 ) 并返回步骤 2。

  7. 输出重建信号,将 ( x’ ) 在非 ( \Lambda ) 的位置上填充零。

MATLAB代码

以下是用MATLAB实现上述过程的代码示例:

% 定义参数
N = 128;       % 信号长度
M = 32;        % 测量数量
K = 10;        % 稀疏度(信号中非零值数量)% 生成一个 K-稀疏信号(随机位置上有非零值)
x = zeros(N, 1);
q = randperm(N);
x(q(1:K)) = randn(K, 1);% 创建一个随机高斯测量矩阵 Phi
Phi = randn(M, N) / sqrt(M);% 生成测量值 y
y = Phi * x;% 调用 OMP 算法
x_hat = OMP(y, Phi, eye(N), K);% 绘制原始信号和恢复信号
figure;
subplot(2, 1, 1);
stem(x, 'b');
title('原始稀疏信号');
subplot(2, 1, 2);
stem(x_hat, 'r');
title('OMP恢复信号');% OMP 函数
function x_hat = OMP(y, Phi, Psi, K)% y - 测量向量% Phi - 传感矩阵% Psi - 稀疏基矩阵(在这里是单位矩阵)% K - 稀疏度或迭代次数% 初始化r = y;                         % 初始残差(即测量值)index_set = [];                % 支撑集合x_hat = zeros(size(Psi, 2), 1); % 估计信号初始化for k = 1:K% 计算相关性correlations = abs(Phi'*r);% 选择具有最大相关性的索引[~, idx] = max(correlations);index_set = union(index_set, idx);% 使用当前支撑集合进行最小二乘求解x_temp = zeros(size(Psi, 2), 1);x_temp(index_set) = pinv(Phi(:, index_set)) * y;% 更新残差r = y - Phi(:, index_set) * x_temp(index_set);% 检查停止准则,可以是基于残差的if norm(r) < 1e-6breakendendx_hat(index_set) = x_temp(index_set);
end

输出结果

输出结果如下,上面是原始信号,下面是恢复后的信号。

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