正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）的MATLAB实现

本文主要是介绍正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）的MATLAB实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

压缩感知（Compressed Sensing, CS）是一种利用稀疏信号的先验知识，用远少于奈奎斯特采样定理要求的样本数目恢复整个信号的技术。正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）是一种常见的贪婪算法（Greedy algorithm），用于解决压缩感知中的信号重构问题。OMP算法试图找到一组稀疏基，这些基与测量值之间有最大的相关性，并且用于迭代地重构原始信号。

OMP算法

下面是OMP算法的简要步骤：

初始化残差 ( r_0 = y )，其中 ( y ) 是测量向量，稀疏性基矩阵 ( \Phi )，观测矩阵 ( \Psi )，支撑集 ( \Lambda = \emptyset )（选择的基函数的索引集），和迭代计数器 ( k = 0 )。
找到与当前残差最相关的列向量（原子） ( \phi_i )
( i = \arg\max_{j} | \langle r_k, \phi_j \rangle | )。
将选中的索引 ( i ) 加到支撑集 ( \Lambda ) 中 ( \Lambda = \Lambda \cup {i} )。
用最小二乘法从支撑集( \Lambda )上的列构建信号的近似解，即解线性方程 ( \Psi_{\Lambda} x’ = y )，得到( x’{\Lambda} )，在( \Lambda )上的系数，其中 ( \Psi{\Lambda} ) 表示 ( \Psi ) 的列仅包含 ( \Lambda ) 中索引对应的列。
更新残差 ( r_{k+1} = y - \Psi_{\Lambda} x’ )。
检查结束条件（例如，残差足够小，( ||r_{k+1}||_2 < \epsilon ) 或已达到预定的迭代次数）。如果未达到结束条件，( k = k + 1 ) 并返回步骤 2。
输出重建信号，将 ( x’ ) 在非 ( \Lambda ) 的位置上填充零。

MATLAB代码

以下是用MATLAB实现上述过程的代码示例：

% 定义参数
N = 128;       % 信号长度
M = 32;        % 测量数量
K = 10;        % 稀疏度（信号中非零值数量）% 生成一个 K-稀疏信号（随机位置上有非零值）
x = zeros(N, 1);
q = randperm(N);
x(q(1:K)) = randn(K, 1);% 创建一个随机高斯测量矩阵 Phi
Phi = randn(M, N) / sqrt(M);% 生成测量值 y
y = Phi * x;% 调用 OMP 算法
x_hat = OMP(y, Phi, eye(N), K);% 绘制原始信号和恢复信号
figure;
subplot(2, 1, 1);
stem(x, 'b');
title('原始稀疏信号');
subplot(2, 1, 2);
stem(x_hat, 'r');
title('OMP恢复信号');% OMP 函数
function x_hat = OMP(y, Phi, Psi, K)% y - 测量向量% Phi - 传感矩阵% Psi - 稀疏基矩阵（在这里是单位矩阵）% K - 稀疏度或迭代次数% 初始化r = y;                         % 初始残差（即测量值）index_set = [];                % 支撑集合x_hat = zeros(size(Psi, 2), 1); % 估计信号初始化for k = 1:K% 计算相关性correlations = abs(Phi'*r);% 选择具有最大相关性的索引[~, idx] = max(correlations);index_set = union(index_set, idx);% 使用当前支撑集合进行最小二乘求解x_temp = zeros(size(Psi, 2), 1);x_temp(index_set) = pinv(Phi(:, index_set)) * y;% 更新残差r = y - Phi(:, index_set) * x_temp(index_set);% 检查停止准则，可以是基于残差的if norm(r) < 1e-6breakendendx_hat(index_set) = x_temp(index_set);
end

输出结果

输出结果如下，上面是原始信号，下面是恢复后的信号。

在这里插入图片描述

我的图书

下面两本书欢迎大家参考学习。

OpenCV轻松入门

李立宗，OpenCV轻松入门，电子工业出版社，2023
本书基于面向 Python 的 OpenCV(OpenCV for Python)，介绍了图像处理的方方面面。本书以 OpenCV 官方文档的知识脉络为主线，并对细节进行补充和说明。书中不仅介绍了 OpenCV 函数的使用方法，还介绍了函数实现的算法原理。

在介绍 OpenCV 函数的使用方法时，提供了大量的程序示例，并以循序渐进的方式展开。首先，直观地展示函数在易于观察的小数组上的使用方法、处理过程、运行结果，方便读者更深入地理解函数的原理、使用方法、运行机制、处理结果。在此基础上，进一步介绍如何更好地使用函数处理图像。在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的实例来说明问题，避免使用过多复杂抽象的公式。

本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，包括在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者。
本书第1版出版后，深受广大读者朋友的喜爱，被很多高校选为教材，目前已经累计重印9次。为了更好地方便大家学习，对本书进行了修订。
在这里插入图片描述

计算机视觉40例

李立宗，计算机视觉40例，电子工业出版社，2022
近年来，我深耕计算机视觉领域的课程研发工作，在该领域尤其是OpenCV-Python方面积累了一点儿经验。因此，我经常会收到该领域相关知识点的咨询，内容涵盖图像处理的基础知识、OpenCV工具的使用、深度学习的具体应用等多个方面。为了更好地把所积累的知识以图文的形式分享给大家，我将该领域内的知识点进行了系统的整理，编写了本书。希望本书的内容能够对大家在计算机视觉方向的学习有所帮助。
本书以OpenCV-Python（the Python API for OpenCV）为工具，以案例为载体，系统介绍了计算机视觉从入门到深度学习的相关知识点。
本书从计算机视觉基础、经典案例、机器学习、深度学习、人脸识别应用等五个方面对计算机视觉的相关知识点做了全面、系统、深入的介绍。书中共介绍了40余个经典的计算机视觉案例，其中既有字符识别、信息加密、指纹识别、车牌识别、次品检测等计算机视觉的经典案例，也包含图像分类、目标检测、语义分割、实例分割、风格迁移、姿势识别等基于深度学习的计算机视觉案例，还包括表情识别、驾驶员疲劳监测、易容术、识别年龄和性别等针对人脸的应用案例。
在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的示例来说明问题，避免使用复杂抽象的公式来介绍。
本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，适于在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者使用。

在这里插入图片描述