本文主要是介绍证明之根号2的无理性,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
根号2的无理性
反证法的力量:证明 2 \sqrt{2} 2是无理数的奇妙之旅
我在上一个系列中说到,一个数如果可以写成分数p/q(其中p和q是整数)的形式则称为有理数,若不可以则称为无理数。数学中一条著名的证明表明了 2 \sqrt{2} 2是无理数。这项证明阐释了反证法这种技术,即通过推出矛盾来证明。
这样的证明以假设要证的结论为假开始。这看似有点奇怪,但其实我们在日常对话中经常用到这一技巧。如果你去警局报案,声称目睹了一辆车被人故意破坏,别人指控你自己就是破坏者,那你很可能说:“如果是我干的,那我根本不可能以这种方式让自己成为目标。”你暂且采纳了你就是破坏者的(非真)假设,以此来说明这是多么荒唐。
反证法证明 2 \sqrt{2} 2为无理数:逻辑推理中的荒诞与确定
我们要去证明 2 \sqrt{2} 2是无理数,那就先假设它是有理数,再来表明这一假设会引出荒诞的结论。我在下面将按步骤写出证明,给出比较多的细节,很多读者也许并不需要这么多。
1.如果 2 \sqrt{2} 2是有理数,那么我们可以找到整数p和q使得何 2 \sqrt{2} 2=p/q(由“有理数”的定义)。
2.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s,r和s不全是偶数。(分子分母连续除以2,直到其中至少有一个变成奇数。
例如分数1412/1000等于706/500等于353/250。)
3. 因此,如果 2 \sqrt{2} 2是有理数,我们就可以找到两个不全为偶数的整数r和s使得 2 \sqrt{2} 2=r/s。
4. 如果 2 \sqrt{2} 2=r/s,则2= r 2 / s 2 r^2/s^2 r2/s2(等式两端平方)。
5. 如果2= r 2 / s 2 r^2/s^2 r2/s2,则 2 s 2 = r 2 2s^2=r^2 2s2=r2(等式两端乘以s^2)。
6. 如果 2 s 2 = r 2 2s^2=r^2 2s2=r2,则 r 2 r^2 r2是偶数,即r必须是偶数。
7. 如果r是偶数,那么存在某个整数t使得r=2t(由“偶数”的定义)。
8. 如果 2 s 2 = r 2 2s^2=r^2 2s2=r2且 r=2t,则 2 s 2 = ( 2 t ) 2 = 4 t 2 2s^2=(2t)^2=4t^2 2s2=(2t)2=4t2,于是得到 s 2 = 2 t 2 s^2=2t^2 s2=2t2(两端除以2)。
9.如果 s 2 = 2 t 2 s^2=2t^2 s2=2t2,那么 s 2 s^2 s2是偶数,意味着s是偶数。
10.按照 2 \sqrt{2} 2是有理数的假设,我们已经表明 2 = r / s \sqrt{2}=r/s 2=r/s,r和s不全是偶数(第3步)。我们之后又得到r是偶数(第6步),s是偶数(第9步)。这是一个明显的矛盾。因为 2 \sqrt{2} 2是有理数的假设会推出明显错误的结论,所以这个假设本身必定是错误的。因此, 2 \sqrt{2} 2是无理数。
以上我尽可能使每一步推导都做到明显有理有据,从而使结论无可反驳。但是,我真的完全没有给怀疑留下余地吗?若有人愿意跟你打赌,如果找不到两个整数p和q使得 p 2 = 2 q 2 p^2=2q^2 p2=2q2就给你一万英镑,但如果找到了就处死你,那你愿意接受挑战吗?如果你愿意,又是否会有一点点的不安呢?
反证法在证明中的完备性与奇数性质的论证
第6步中包含了 r 2 r^2 r2是偶数则r必定是偶数的论断。这看起来相当明显(奇数乘以奇数是奇数),但如果我们要想使是无理数这一命题绝对确定无疑,或许可以再加强一些。让我们把它分解成五个子步骤:
6a. r是整数, r 2 r^2 r2是偶数。我们要表明r必定也是偶数。让我们假设r是奇数,然后寻求矛盾。
6b. 因为r是奇数,所以存在整数t使得r=2t+1。
6c. 于是推出 r 2 = ( 2 t + 1 ) 2 = 4 t 2 + 4 t + 1 r^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1 r2=(2t+1)2=4t2+4t+1。
6d. 但是 4 t 2 + 4 t + 1 = 2 ( 2 t 2 + 2 t ) + 1 4t^2+4t+1=2(2t^2+2t)+1 4t2+4t+1=2(2t2+2t)+1,这是奇数,与 r 2 r^2 r2是偶数的事实矛盾。
6e. 因此r是偶数。
现在步骤6完全滴水不漏了吗?可能还没有,因为子步骤6b仍需要证明。毕竟,奇数的定义仅仅是非2的倍数的整数。为什么每个整数要么就是2的倍数,要么就比2的倍数多1呢?我们可以用以下论据来证明。
6b1. 如果某个整数r是2的倍数,或者比2的倍数多1,我们就称它为一个好数。如果r是好数,则r=2s或r=2s+1,其中s也是整数。如果r=2s,则r+1=2s+1;如果r=2s+1,则r+1=2s+2=2(s+1)。不管是两种情况中的哪一种,都有r+1也是好数。
6b2. 1是好数,因为0=0×2是2的倍数,且1=0+1。
6b3. 重复利用6b1这一步,我们可以推出2是好数,然后3是好数,然后4是好数,等等等等。
6b4. 因此,所有正整数都是好数,这正是我们要证明的结论。
数学归纳法的力量:从步骤到子步骤,理解论证的完备性与终止性
我们现在完成了吗?大概这一回最不牢靠的步骤要数6b4了,因为它是从前一步“等等等等”这样十分模糊的字眼中得到的。步骤6b3告诉我们怎样去表明任意给定的正整数n是好数。但麻烦在于,若按照上面的论证,我们需要从1一直数到n,如果n很大的话,这就要花很长时间。如果我们想要说明所有正整数都是好数,情况就更糟糕了,看起来这样的论证似乎永无结束之日。
但另一方面,鉴于步骤6b1到6b3实实在在、确切无疑地给我们提供了一种方法,能够说明任意的n都是好数(只要我们有时间),这一反对意见看起来就不合理。实际上它是如此不合理,以至于数学家们采纳了下述原则作为一条公理。
假设关于任意正整数n有一陈述s(n)。(在我们的例子中,s(n)即表示陈述“n是好数”。)如果s(1)为真,而且s(n)为真总蕴含s(n+1)为真,那么s(n)对任意n都真。
这就是数学归纳法原理,熟悉它的人也简称它为归纳法。通俗地讲,它所说的其实就是,如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明,那有一种办法:证明第一条为真,并且每一条都蕴含下一条。
上述几段内容说明了,数学论证中的每一步都可以分解成更小的,因而也更加清晰有据的子步骤。这些子步骤又可以进一步分解为子子步骤,等等。数学中有个根本性的重要事实,那就是这样的过程最终必然会终止。原则上,如果不断地将步骤分解为更小的步骤,你最终会得到一条非常长的论证,它以普遍接受的公理开始,仅通过最基本的逻辑原则(例如“若A为真且A蕴含B,则B为真”)一步步推进,最终得到想要求证的结论。
“20世纪早期的重要发现:数学证明有效性的争论总是能够解决”
上一段中我所说的远非显然:事实上,这正是20世纪早期的重要发现,很大程度上归功于弗雷格、罗素和怀特海。这一发现对数学产生了深远的影响,因为它意味着,任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。而在19世纪,与此形成对比的是,的确存在着关于数学实体问题的真正分歧。譬如,现代集合论之父格奥尔格•康托尔,基于某个无穷集可能比另一个无穷集“更大”这样的思想提出了一些论点。今天人们已经接受了这些论点,但当时的人们却对此产生强烈的怀疑。如今,如果人们对于某个证明的正确性存在分歧,那要么是因为这个证明写得不够详细,要么是因为人们还没有付出足够努力来仔细地理解、检查这个证明。
“数学的独特性:解决争论的原则与公理的接受”
不过这并不意味着分歧永远不会出现。此如一种常见的指况,某人炮制了一篇极长的证明,在某些地方不够清楚,同时还包含许多小错误,但并非明显可见的根本性错误。要想下结论说这祥的论点是否能做到滴水不漏,通常要耗数巨大的工作量,而这样的工作却没有太高的回报。即使是提出证明的人自己可能也不愿意做,生怕会发现他的证明是错的。
虽然如此,争论在原则上必然能够解决这一事实的确使数学独一无二。没有任何一个学科像数学一样具有这一特性:有些天文学家仍然固守着宇宙的稳态理论;关于自然选择究竟有多大的解释力,生物学家各自都抱有极不同的坚定信念;关于意识与物质世界的关系,哲学家们具有根本性的分歧;经济学家也追随着观点截然相反的不同学派,如货币主义和新凯恩斯主义。
理解前面“在原则上”这个短语是很重要的。没有哪个数学家愿意费心写出证明的完整细节——从基本公理开始,仅通过最明显、最易于检查的步骤来推导出结果。即使可行,也并不必要:数学论文是写给经过严格训练的读者的,无须事无巨细详细说明。而如果某人提出一个重要的论断,其他数学家发觉难以理解其证明,他们就会要求作者详细解释。这时,把证明步骤分解为更小的、更易理解的子步骤的过程就会开始。同样因为听众都是经过严格训练的,这个过程通常不需要进行太久,只要给出了必要的解释或者发现了其中的错误就可以了。因此,对某个结果的一个证明如果的确是正确的,那几乎总会被数学家当作是正确的。
一部分读者可能会萌生这样的问题,我还未触及:为什么我们应该接受数学家提出的公理呢?比方说,如果有人反对数学归纳法原理,我们应当怎样回应呢?大多数数学家会给出如下的答复。首先,所有理解了归纳法的人应该都认为它是显然合理的。其次,公理系统的主要问题并不是公理的真实性,而是公理的自治性和有用性。数学证明实际上所做的正是要表明,由特定前提——如数学归纳法,能够得到特定的结论——如 2 \sqrt{2} 2乏是无理数。
这些前提假设是否正确则是与此完全无关的问题,我们可以安然地把它们留给哲学家。
总结
通过上述论述,我们可以得出以下结论:
- 数学中使用的证明方法之一是反证法,它通过假设要证明的结论为假来推导出矛盾,从而证明结论的正确性。
- 反证法的有效性建立在数学归纳法原理的基础上,该原理要求证明第一条陈述为真,并且每一条陈述都蕴含下一条,从而保证所有正整数的陈述都为真。
- 数学中的证明过程可以通过将每一步细分为更小的子步骤,逐步推导出结论。其他数学家可以通过理解和检查证明的子步骤来确认其正确性。
- 数学的独特性在于其解决争论的原则和公理的接受。数学家们通常认为公理是显然合理的,并且关注公理的自治性和有用性,而不是其真实性。
- 数学具有解决争议的能力,与其他学科相比,数学中的分歧通常可以得到解决。这使得数学成为一门独特的学科。
数学证明的有效性和解决争论的原则使得数学具有独特性和确定性。
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