BZOJ2038小Z的袜子—

BZOJ2038小Z的袜子——莫队

2024-02-04 12:08

文章标签 莫队袜子 bzoj2038

本文主要是介绍BZOJ2038小Z的袜子——莫队，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Description
作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output
包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input
6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

Sample Output
2/5

0/1

1/1

4/15

【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。

询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；

60%的数据中 N,M ≤ 25000；

100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

这道题显然要维护区间的信息。我们先考虑暴力算法。如果我们要将区间li,ri变为lj,rj，则我们要从li到lj的区间里修改颜色的累加值，比如若li< lj，则从i到j的颜色c[i]的总记sum[c[i]]-1。通过这样不停的维护，就可以求出正解。

但问题是如果数据十分卡，得在不同的区间里跳来跳去，则时间复杂度会很慢。而莫队算法将读入的询问按一定的顺序sort一遍，然后再从li跳到lj，ri跳到rj即可。经过sort，就不会有乱跳的现象，能极大节省时间。

那么应该按照什么样的顺序sort？这里可以用分块思想,另bl[i]表示i所在的分块，如果bl[li]！=bl[lj]，则按l大小排序，如果bl[li]=bl[lj]，则按r排序，这样排序可以保证在同一分块里r单调递增，而分块的顺序也递增，即可极大减低复杂度。

本题只要用组合数学推论，结合莫队算法即可解题。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll read(){char c;ll x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
ll n,m,c[50005],sum[50005],cnt,bl[50005],block,l,r;
struct node{ll mother,son,l,r,pl;
}q[50005];
ll cmp(node a,node b){return bl[a.l]==bl[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;
}
ll comp(node a,node b){return a.pl<b.pl;}
ll sq(ll x){return x*x;}
void change(ll p,ll num){cnt-=sq(sum[c[p]]);sum[c[p]]+=num;cnt+=sq(sum[c[p]]);
}
ll gcd(ll x,ll y){return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}
int main()
{n=read();m=read();block=sqrt(n);for(ll i=1;i<=n;i++) bl[i]=i/block+1;for(ll i=1;i<=n;i++) c[i]=read();for(ll i=1;i<=m;i++){q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].pl=i;}sort(q+1,q+1+m,cmp);l=1,r=0;for(ll i=1;i<=m;i++){for(ll j=l;j<q[i].l;j++) change(j,-1),l++;for(ll j=l;j>q[i].l;j--) change(j-1,1),l--;for(ll j=r;j<q[i].r;j++) change(j+1,1),r++;for(ll j=r;j>q[i].r;j--) change(j,-1),r--; if(q[i].l==q[i].r){q[i].son=0;q[i].mother=1;continue;}q[i].son=cnt-(q[i].r-q[i].l+1);q[i].mother=1ll*(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);if(q[i].son==0){q[i].mother=1;continue;}ll g=gcd(q[i].mother,q[i].son);q[i].son/=g;q[i].mother/=g;}sort(q+1,q+1+m,comp);for(ll i=1;i<=m;i++) printf("%lld/%lld\n",q[i].son,q[i].mother);return 0;
}