由光学到变分演变出来的二阶非线性常微分方程初边值问题

本文主要是介绍由光学到变分演变出来的二阶非线性常微分方程初边值问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题是这样的,如图,圆O的半径为3, 圆C半径为1;

O的坐标(0,0), C坐标(-15,0), B的坐标(-14,0)

圆盘O是一个发光源,那么,如果透明介质处处的折光率都是常数,

则从B点观察圆盘O时,可以看到上边界对应于BD,下边界对应BE,都是圆O的切线;

现在假设介质的折光指数是二元函数 n(x,y)

求在这种折光指数连续变化的透明光学介质中,从B点观察发光圆盘O,对应的上边界点和下边界点到B点的光线的路径曲线.

或者, 只求上下边界光线到达B点时它们各自对应的光线曲线的斜率.

从Fermat原理, 可以很容易把问题转化成变分问题, 并利用Euler-Lagrange方程把它写成一个二阶非线性常微分方程:

已经知道 y(-14)=0, 只须再知道 y(x)在 x=-14的一阶导数 y'(-14) 即可以容易得到数值解, 问题在于,这个不容易得到;

如果用近似的y'(-14)计算一系列的数值曲线出来,取跟圆O相切的一个也可以,但是太复杂了点;

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