【射影几何11】完全四边形和交比研究

本文主要是介绍【射影几何11】完全四边形和交比研究，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、说明

对于交比的灵活应用，尚有许多情况需要讨论，首先引出完全四边形的例子，该关键词的应用非常普遍；其次，我们尝试用交比证明一些事实；随后我们又引出交比射影案例的特殊情况。

二、完全四边形

2.1 完全四边形定义

【定义】完全四边形，就是存在四条线，其中不允许出现三条线共点，那么四条线围成的区域，即是完全四边形。
讨论：什么不是完全四边形？
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上图，退化成三边形，不是完全四边形

上图为梯形，是完全四边形。只是作图中常常不用梯形，因为平行线相交无穷远无法做出。

2.2 完全四边形的对角线

完全四边形的对角线及其重要，这里专门强调一下。
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上图中AC、DB、EF是完全四边形的对角线，对角线三条，不要搞错，EF也是对角线！。

2.3 完全四边形的对角线上的调和点列

如图，直线AE、BE、AF、BI构成一个完全四边形EIGF，直线AB、IF、EG为对角线。记A、B、C、D的交比为(ABCD)，则(ABCD)=-1。

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根据交比的不变性，由E点的投影，有 $x = (A BC D) = (I F HD)$
由G点的投影，有 $(B A C D) = (I F HD)$
根据定义，有 $(BACD)={\frac {1}{(ABCD)}}={\frac {1}{x}}$
因此， $x={\frac {1}{x}}$
由于A、B、C、D四点的相对位置， $x < 0$ ，故 $(A BC D) = x = - 1$
证毕。

事实上，还有一组调和点列，在对角线EG上，我们下文专门谈及。

2.3 交比证明的思维方式

射影几何的证明，很容易眼花，这里发明一个思维模式：
引进一个运算符号：

See（point）= {交比点列1，交比点列2，,交比点列N}

point是发射点，其中SEE（point）表示：从point为发射点，能够看到的交比点列。比如下图
在这里插入图片描述
从E看到交比点列是IHFD和ACBD，表示为：
See(E) ={(IHFD), (ACBD)}
同理：
See（A） = {(IHFD), (EHGC)}
用等价性发现(ACBD)=(EHGC)：
【推论】在完全四边形对角线AD，HD，EC上都有一组调和点列。