动态规划4(NOIP2008 普及组 传球游戏)

本文主要是介绍动态规划4(NOIP2008 普及组 传球游戏)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

原题链接

题目描述

上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没有传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有三个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。

输入格式

一行，有两个用空格隔开的整数n,m(3 ≤ n ≤ 30,1 ≤ m ≤ 30)。

输出格式

1个整数，表示符合题意的方法数。

输入样例

3 3

输出样例

3

分析：

• 本题于之前的二维DP有所不同，所有的同学需要站成一个环

• 使用动态规划解题三步骤：

①定义动态规划求解对象：dp[i][j]表示走了 j 步到达位置 i

②状态转移方程：分析题意得，想要走到在 j 步位置 i ，有两种情况：
(1)在第j - 1步走到位置 i 的左边;
(2)在第j - 1步走到位置 i 的右边;
由此得出状态转移方程dp[i][j] = dp[left(i)][j - 1] + dp[right(i)][j - 1]

③边界条件：在下图中，画出了一个二维数组dp，数组的列数表示当前传球的次数，行数表示球在当前哪个位置。如在传第0次球(还没开始传球)时，只有第一个位置(第一行)有球，故dp[1][0] = 1

继续分析，以传3次球传到位置2为例，传3次球的方案数一定与传2次球的方案数有关且可以从位置1传到位置2，也可以从位置3传到位置2。位置2的左边是位置1，右边是位置3，动态转移方程为dp[2][3] = dp[1][2] + dp[3][2],如图所示：

• 在二维数组中，根据上图，不难发现，球在m步传到每一个位置n所需要的方案数都与其前一列有关，故可以按列推出所有的方案数。那么如何解决成环问题呢？如图所示，位置1的左边其实是位置n，位置n的右边其实是位置1。
  
  由以上分析，当递推第一列时，需要对数组的第0列做一些小改动——将第1行的值赋给第n + 1行(n的右边是1)，将第n行的值赋给第0行(1的左边是n)，如图所示
  

在到达上图的状态时，可以推出第2列的数值了，如下图：
之后在递推第三列时，先将第二列的第0行和第n + 1行补齐，如下图… …以此类推得出结果。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 35;
int dp[N][N];int main()
{int n,m;cin >> n >> m;dp[1][0] = 1;//初始化:在位置1传0次球for (int j = 1;j <= m;j++)//枚举列,按列递推dp数组:i表示行(位置),j表示列(传球次数){dp[0][j - 1] = dp[n][j - 1];//将前一列第n行的值赋给第0行dp[n + 1][j - 1] = dp[1][j - 1];//将前一列第1行的值赋给第n + 1行for (int i = 1;i <= n;i++)//枚举行dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i + 1][j - 1];//状态转移方程}    cout << dp[1][m] << endl;//位置1传了m次return 0;
}

去掉一些换行和头文件，会发现AC代码就20行…突然感觉算法太强了啊…

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 35;
int dp[N][N];
int main()
{int n,m;cin >> n >> m;dp[1][0] = 1;for (int j = 1;j <= m;j++){dp[0][j - 1] = dp[n][j - 1];dp[n + 1][j - 1] = dp[1][j - 1];for (int i = 1;i <= n;i++)dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i + 1][j - 1];}    cout << dp[1][m] << endl;return 0;
}

这篇关于动态规划4(NOIP2008 普及组 传球游戏)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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