【数值分析】非线性方程求根，二分法，割线法，matlab实现

本文主要是介绍【数值分析】非线性方程求根，二分法，割线法，matlab实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 基本问题

收敛阶
$\lim_{k\to\infty} \frac{|e_{k+1}|}{|e_k|}^r=C>0 \,\,,\,\, r为收敛阶$

2. 二分法

二分法是线性收敛的，如果指定精度 $\epsilon }$ ，则最多需要迭代步数
$\lceil \log_2(\frac{b-a}{\epsilon }) \rceil$
matlab实现

%% 二分法例子
f = @(x) x^3-x-1;
format long
[x,i] = bisect(f,1,2,1e-5,1000)%% 二分法求非线性方程的根
% 输入函数，范围，精度,最大迭代次数
% 输出根,迭代次数
function [x,i] = bisect(f,a,b,eps,max_iter)if sign(f(a))~=sign(f(b))for i = 1:max_iter  c = a/2+b/2;if (b-a)<eps || abs(f(c))<epsx = c;breakendif sign(f(a))==sign(f(c))a = c;elseb = c;endendend
end

3. 不动点迭代加速

不动点 ${x=x ^{*} }$
$x_{k+1}=\phi(x_k)$
$x_{k+1}-x ^{*} =\phi(x_k)-\phi(x ^{*} )=\phi'(\xi_k)(x_k-x ^{*} ) \,\,,\,\, \xi_k\in(x_k,x ^{*} )$
$\text{let} \,\,\, \phi'(\xi_k) =L$
$^{*} \approx \frac{x_{k+1}-Lx_k}{1-L}=\bar\phi(x)$
为加速后的不动点迭代格式。

6. 割线法

割线法比起牛顿迭代法不需要计算导数。
双点割线法
需要知道两个的函数初始值，不需要函数值异号。迭代公式如下：
$x_{k+1}=x_k-f(x_k) \frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$
收敛阶：
$\frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618$

matlab编程实现

%%  割线法例子
f = @(x) x-sin(x)-0.5;
[x,e,i] = cutSolve(f,1.4, 1.6, 0.01, 100)%% 双点割线法
% 输入函数，根所在的区间下限上限，精度，最大迭代次数
% 输出根，根的值，迭代次数
function [x,e,i] = cutSolve(f,a,b,eps,max_iter)x0 = a;x1 = b;for i = 1:max_iterx = -f(x0)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))+x0if abs(x-x1)<=epse = abs(f(x));break;endx0=x1;x1=x;end
end