可重构MIMO性能增益理论分析（Low-Complexity Reconfigurable MIMO for Millimeter Wave Communications 阅读笔记）

本文是针对"Low-Complexity Reconfigurable MIMO for Millimeter Wave Communications"的阅读笔记，其中心在于给出了RA对于MIMO性能增益的理论分析，对于低复杂度beam selection及state selection本文暂不讨论。
参考文献：
B. He and H. Jafarkhani, “Low-Complexity Reconfigurable MIMO for Millimeter Wave Communications,” in IEEE Transactions on Communications, vol. 66, no. 11, pp. 5278-5291, Nov. 2018, doi: 10.1109/TCOMM.2018.2860003.

绪论

本文贡献

framework方面贡献

给出了配备HBF架构的稀疏信道RA-MIMO系统的理论框架

性能增益方面贡献

1. 给出了平均以及中断（准静态信道）吞吐量增益作为性能metric，并给出表达式；
2. 给出了在大尺度及小尺度系统中表达式的简化形式，并证明了当系统规模较大时，增大系统规模带来的throughput gain增长速度变缓；
3. 给出了throughput gain的性能仿真；
4. 基于稀疏信道性质给出了state selection及beam selection的低复杂度算法。
   下面分别从这两个贡献展开介绍。

framework方面贡献

模态

本文不同模态之间正交，其实现方式文中有简要介绍。因为讨论的理论增益上限，所以正交可以带来的增益更大。值得注意的是，这里有一个tradeoff：模态之间正交带来的增益更大，但由于之间相关性小所以要基于相关性去外推性能就会差一点，开销方面自然牺牲大；反之亦然。
假设发端阵有$Q$种模态，收端有$W$种，则信道总模态有$\Psi =QW$。

信道

这里考虑窄带块衰落信道，并采用参数化信道模型（S-V信道模型）。CSI方面文章假设full CSIR，并有limited feedback反馈机制。
假设不同模态簇数及路径数相同，即：$N_{1,\mathrm{c}\mathrm{l}}=\cdots =N_{\Psi ,\mathrm{c}\mathrm{l}}$和$N_{1,\mathrm{r}\mathrm{y}}=\cdots =N_{\Psi ,\mathrm{r}\mathrm{y}}$。

传输过程

传输过程如下：
$$\mathbf{y}={\mathbf{H}}_{\psi }\mathbf{x}+\mathbf{n}$$
其中${\mathbf{H}}_{\psi }\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$，$\mathbf{n}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0;{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{N_r}\right)$，$\mathbb{E}\left\{{\Vert {\mathbf{H}}_1\Vert }_F^2\right\}=\cdots =\mathbb{E}\left\{{\Vert {\mathbf{H}}_{\Psi }\Vert }_F^2\right\}=N_r{N}_t$。

实际信道

多径信道模型如下：
$${\mathbf{H}}_{\psi }=\sum _{i=1}^{N_{\psi ,\mathrm{c}\mathrm{l}}}\sum _{l=1}^{N_{\psi ,\mathrm{r}\mathrm{y}}}{\alpha }_{\psi ,i,l}{\mathbf{a}}_R\left({\theta }_{\psi ,i,l}^r\right){\mathbf{a}}_T^H\left({\theta }_{\psi ,i,l}^t\right)$$
其中${\mathbf{a}}_R$与${\mathbf{a}}_T$为收端及发端波矢，对均匀线阵（ULA），有：
$${\mathbf{a}}_R\left({\theta }_{\psi ,i,l}^r\right)={\left[1,e^{-j2\pi {\vartheta }_{\psi ,i,l}^r},\cdots ,e^{-j2\pi {\vartheta }_{\psi ,i,l}^r\left(N_r-1\right)}\right]}^T$$$${\mathbf{a}}_T\left({\theta }_{\psi ,i,l}^t\right)={\left[1,e^{-j2\pi {\vartheta }_{\psi ,i,l}^t},\cdots ,e^{-j2\pi {\vartheta }_{\psi ,i,l}^t\left(N_t-1\right)}\right]}^T$$
其中归一化天线间距$\vartheta =d\sin (\theta )/\lambda$。

虚拟信道（ Virtual Channel Representation, VCR）

上述信道的VCR可以表述为：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{H}}_{\psi }& =\sum _{i=1}^{N_r}\sum _{j=1}^{N_t}{H}_{\psi ,V}(i,j){\mathbf{a}}_R\left({\ddot{\theta }}_{R,i}\right){\mathbf{a}}_T^H\left({\ddot{\theta }}_{T,j}\right)\\ & ={\mathbf{A}}_R{\mathbf{H}}_{\psi ,V}{\mathbf{A}}_T^H\end{array}$$
其中虚拟AoA、AoD为：${\ddot{\theta }}_{R,i}=\arcsin \left(\lambda {\ddot{\vartheta }}_{R,i}/d\right)$ ${\ddot{\theta }}_{T,i}=\arcsin \left(\lambda {\ddot{\vartheta }}_{T,i}/d\right)$，且：
$${\ddot{\vartheta }}_{R,i}=\frac{i-1-\left(N_r-1\right)/2}{N_r}$$$${\ddot{\vartheta }}_{T,i}=\frac{i-1-\left(N_t-1\right)/2}{N_t}$$则波矢矩阵为：$${\mathbf{A}}_R=\frac{1}{\sqrt{N_r}}{\left[{\mathbf{a}}_R\left({\ddot{\theta }}_{R,1}\right),\cdots ,{\mathbf{a}}_R\left({\ddot{\theta }}_{R,N_r}\right)\right]}^T$$$${\mathbf{A}}_T=\frac{1}{\sqrt{N_t}}{\left[{\mathbf{a}}_T\left({\ddot{\theta }}_{T,1}\right),\cdots ,{\mathbf{a}}_T\left({\ddot{\theta }}_{T,N_t}\right)\right]}^T$$${\mathbf{A}}_R$与${\mathbf{A}}_T$是酉DFT矩阵，原始信道矩阵与VCR一一对应：$${\mathbf{H}}_{\psi ,V}={\mathbf{A}}_R^H{\mathbf{H}}_{\psi }{\mathbf{A}}_T$$

低维VCR

由于在空域上有的角度没有散射体，导致该方向增益较小，我们只关心增益大的方向，即在角度域对信道做特征值分解（或谱分解）后，我们只关心主成分方向，基于这个思路，VCR可以进一步降维：$${\tilde{\mathbf{H}}}_{\psi ,V}={\left[{\mathbf{H}}_{\psi ,V}(i,j)\right]}_{i\in {\mathcal{M}}_{\psi ,r},j\in {\mathcal{M}}_{\psi ,t}}$$其中 M ψ , r = { i : ( i , j ) ∈ M ψ } \mathcal{M}_{\psi, r}=\left\{i:(i, j) \in \mathcal{M}_{\psi}\right\} Mψ,r​={i:(i,j)∈Mψ​}为beam selection mask，beam selection按照幅值选取原则：$${\mathcal{M}}_{\psi }=\left\{(i,j):{\left|{\mathbf{H}}_{\psi ,V}(i,j)\right|}^2\ge {\gamma }_{\psi }\underset{(i,j)}{\max }{\left|{\mathbf{H}}_{\psi ,V}(i,j)\right|}^2\right\}$$其中$0<{\gamma }_{\psi }<1$为门限参数。

收发机结构

系统采用HBF架构，发射端模拟域BF采用DFT矩阵${\mathbf{A}}_T$，数字域BF采用单位阵（发端无CSI）；接收端模拟域Combiner采用IDFT矩阵${\mathbf{A}}_R^{\mathrm{H}}$，数字域采用最大似然准则解码。可以看到，这里$F_{RF}$维度不是$N_t\times N_{RF}^t$，是对经过扩维之后的模拟域导频进行处理。
发端及收端的RF链个数等于其信道主成分分量个数，即$N_{RF}^T=L_t$、$N_{RF}^R=L_r$。

发射过程

发射过程如下：$$\mathbf{y}={\mathbf{H}}_{\psi }\mathbf{x}+\mathbf{n}={\mathbf{A}}_R{\mathbf{H}}_{\psi ,V}{\mathbf{A}}_T^H\mathbf{x}+\mathbf{n}={\mathbf{A}}_R{\mathbf{H}}_{\psi ,V}{\mathbf{x}}_V+\mathbf{n}$$
其中信号$\mathbf{s}\in {\mathbb{C}}^{N_s\times 1}$过数字预编码$\mathbf{F}\in {\mathbb{C}}^{L_t\times N_s}$过程为${\tilde{\mathbf{x}}}_V=\mathbf{F}\mathbf{s}$，模拟域导频${\tilde{\mathbf{x}}}_V$经过扩维之后有：$${\left[{\mathbf{x}}_V(j)\right]}_{j\in {\mathcal{M}}_t}={\tilde{\mathbf{x}}}_V$$其中${\left[{\mathbf{x}}_V(j)\right]}_{j\notin {\mathcal{M}}_t}=0$，则发射信号有$\mathbf{x}={\mathbf{A}}_T{\mathbf{x}}_V$，能量方面$\mathrm{Tr}\left(\mathbb{E}\left\{{\tilde{\mathbf{x}}}_V{\tilde{\mathbf{x}}}_V^H\right\}\right)=\mathrm{Tr}\left(\mathbb{E}\left\{{\mathbf{x}}_V{\mathbf{x}}_V^H\right\}\right)=\mathrm{Tr}\left(\mathbb{E}\left\{\mathbf{x}{\mathbf{x}}^H\right\}\right)=P$

接收过程

接收过程为：$${\mathbf{y}}_V={\mathbf{A}}_R^H\mathbf{y}={\mathbf{H}}_{\psi ,V}{\mathbf{x}}_V+{\mathbf{n}}_V$$仅留下主成分：$${\tilde{\mathbf{y}}}_V={\tilde{\mathbf{H}}}_{\psi ,V}{\tilde{\mathbf{x}}}_V+{\tilde{\mathbf{n}}}_V$$其中噪声${\mathbf{n}}_V={\mathbf{A}}_R^H\mathbf{n}$有$\mathcal{C}\mathcal{N}\left(0;{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{N_r}\right)$，${\tilde{\mathbf{n}}}_V={\left[{\mathbf{n}}_V(i)\right]}_{i\in {\mathcal{M}}_r}$有${\tilde{\mathbf{n}}}_V\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0;{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{L_r}\right)$。
由此可见，发端RF precoding的物理意义即将信道矩阵H的发端波矢矩阵，即有特征矩阵拆开，收端RF combining同理，而平时我们不知道H的特征值分布情况，所以只能用全DFT矩阵进行拆解，即$F_{RF}$用全DFT矩阵，这部分开销要通过时间域去实现。要减少发端模拟权的在空域上的开销，本质上还是要高效的知道H的特征值分布情况。

容量

假设full CSIR，且limited feedback，反馈量化基数为：${\log }_2(\Psi )+{\log }_2\left(\left(\begin{array}{l}{N}_t\\ L_t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N}_r\\ L_r\end{array}\right)\right)$，维度方面假设$N_s=L_t\le L_r$，如此使得系统复用增益最大。则容量公式如下：$$R_{{\tilde{\mathbf{H}}}_{\psi ,V}}={\log }_2\left|{\mathbf{I}}_{L_r}+\frac{\rho }{L_t}{\tilde{\mathbf{H}}}_{\psi ,V}{\tilde{\mathbf{H}}}_{\psi ,V}^H\right|$$其中$\rho =P/{\sigma }_n^2$为发射信噪比。

性能增益方面贡献

平均吞吐量增益及中断吞吐量增益

平均吞吐量增益

系统瞬时吞吐量为： R ψ ^ = max ⁡ ψ ∈ { 1 , ⋯ , Ψ } R ψ R_{\widehat{\psi}}=\max _{\psi \in\{1, \cdots, \Psi\}} R_{\psi} Rψ ​​=ψ∈{1,⋯,Ψ}max​Rψ​其中 R ψ = log ⁡ 2 ∣ I L r + ρ L t H ~ ^ ψ , V H ~ ^ ψ , V H ∣ = max ⁡ H ~ ψ , V ∈ { H ~ ψ } log ⁡ 2 ∣ I L r + ρ L t H ~ ψ , V H ~ ψ , V H ∣ \begin{aligned} R_{\psi} &=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{L_{r}}+\frac{\rho}{L_{t}} \widehat{\widetilde{H}}_{\psi, V} \widehat{\widetilde{H}}_{\psi, V}^{H}\right| \\ &=\max _{\widetilde{\mathbf{H}}_{\psi, V} \in\left\{\tilde{\mathcal{H}}_{\psi}\right\}} \log _{2}\left|\mathbf{I}_{L_{r}}+\frac{\rho}{L_{t}} \widetilde{\mathbf{H}}_{\psi, V} \widetilde{\mathbf{H}}_{\psi, V}^{H}\right| \end{aligned} Rψ​​=log2​∣∣∣∣​ILr​​+Lt​ρ​H ψ,V​H ψ,VH​∣∣∣∣​=H ψ,V​∈{H~ψ​}max​log2​∣∣∣∣​ILr​​+Lt​ρ​H ψ,V​H ψ,VH​∣∣∣∣​​
则平均吞吐量增益定义为：$$G_{\bar{R}}={\bar{R}}_{\hat{\psi }}/{\bar{R}}_{\psi }$$其中 R ˉ ψ ^ = E { R ψ ^ } , R ˉ ψ = E { R ψ } \bar{R}_{\widehat{\psi}}=\mathbb{E}\left\{R_{\widehat{\psi}}\right\}, \bar{R}_{\psi}=\mathbb{E}\left\{R_{\psi}\right\} Rˉψ ​​=E{Rψ ​​},Rˉψ​=E{Rψ​}，我们这里假设不同模态平均吞吐量相等，即${\bar{R}}_1=\cdots ={\bar{R}}_{\Psi }$。下面的重点即解$G_{\bar{R}}$：
分析知$R_{\psi }$应是一个高斯分布的随机变量，即$R_{\psi }\sim \mathcal{N}\left({\bar{R}}_{\psi },{\sigma }_{R_{\psi }}^2\right)$

平均吞吐量增益近似形式

平均吞吐量增益近似形式如下：$$G_{\bar{R}}\approx {\int }_0^{\infty }\frac{1}{{\bar{R}}_{\psi }}-\frac{1}{2^{\Psi }{\bar{R}}_{\psi }}{\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-{\bar{R}}_{\psi }}{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}\right)\right)}^{\Psi }\mathrm{d}x$$求解如下：
首先${\bar{R}}_{\hat{\psi }}$有：
$$\begin{array}{rl}{\bar{R}}_{\hat{\psi }}& \approx {\int }_0^{\infty }1-{\left(F_{R_{\psi }}(x)\right)}^{\Psi }\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\infty }1-\frac{1}{2^{\Psi }}{\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-{\bar{R}}_{\psi }}{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}\right)\right)}^{\Psi }\mathrm{d}x\end{array}$$其中${\bar{R}}_{\psi }$的近似cdf函数为$F_{R_{\psi }}(x)=1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-{\bar{R}}_{\psi }}{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}\right)$，代入平均吞吐量增益表达式即可。

小系统规模及大系统规模近似形式

由于上面$G_{\bar{R}}$无法进一步简化，所以讨论在小规模及大规模系统下的近似形式以讨论其规律。

小系统规模近似形式

首先平均增益有：$$G_{\bar{R}}(\Psi =i)\approx 1+\frac{\sqrt{{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }}{E}_i$$其中$E_i$为$i$个独立的标准正态分布随机变量中最大值的期望，则对于$E_i$，有如下求解过程：$$\begin{array}{rl}{E}_i& ={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{\mathrm{d}(\Phi (x){)}^i}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\ & =i(i-1){\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\exp \left(-x^2\right)}{2\pi }(\Phi (x){)}^{i-2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{i(i-1)}{2\pi }\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{i}{2}-1\rfloor }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{i-2-2j}\left(\begin{array}{c}i-2\\ 2j\end{array}\right)A_j\end{array}$$其中$A_j={\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-x^2\right){\left(\Phi (x)-\frac{1}{2}\right)}^{2j}\mathrm{d}x$，由此可求得$A_0=\sqrt{\pi }$及$A_1=\frac{1}{2\sqrt{\pi }{\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}$，代入有$E_1=0,E_2={\pi }^{-\frac{1}{2}},E_3=\frac{3}{2}{\pi }^{-\frac{1}{2}},E_4=3{\pi }^{-\frac{3}{2}}\arccos \left(-\frac{1}{3}\right),\text{ and }{E}_5=\frac{5}{2}{\pi }^{-\frac{3}{2}}\arccos \left(-\frac{23}{27}\right)$，将各个$E$代入平均增益有：$$\begin{array}{l}{G}_{\bar{R}}(\psi =1)\approx 1,G_{\bar{R}}(\psi =2)\approx 1+\frac{1}{{\bar{R}}_{\psi }}\sqrt{\frac{{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\pi }},\\ G_{\bar{R}}(\psi =3)\approx 1+\frac{3}{2{\bar{R}}_{\psi }}\sqrt{\frac{{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\pi }}\\ G_{\bar{R}}(\psi =4)\approx 1+\frac{3}{{\bar{R}}_{\psi }}\sqrt{\frac{{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{{\pi }^3}}\arccos \left(-\frac{1}{3}\right),\\ G_{\bar{R}}(\psi =5)\approx 1+\frac{5}{2{\bar{R}}_{\psi }}\sqrt{\frac{{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{{\pi }^3}}\arccos \left(-\frac{23}{27}\right).\end{array}$$这里我们只讨论1到5，本质由于我们只能用这种办法求出$A_0$和$A_1$，且$A_0$和$A_1$只能满足$E_1$到$E_5$的求解，规模再大就不行了。

大系统规模近似形式

小规模与大规模的处理问题重点在于不同情况对于$E_i$的处理手段不同。当大规模时，由Fisher-âŁ"Tippett定理，$\Psi$个独立的标准正态分布随机变量中最大值满足 Gumbel分布，其期望的cdf函数为：$$F_{E_{\Psi }}(x)=\exp \left(-\exp \left(-\frac{x-{\Phi }^{-1}\left(1-\frac{1}{\Psi }\right)}{{\Phi }^{-1}\left(1-\frac{1}{e\Psi }\right)-{\Phi }^{-1}\left(1-\frac{1}{\Psi }\right)}\right)\right)$$
其中${\Phi }^{-1}(\cdot )$代表标准正态分布的反cdf，则期望有：$$E_{\Psi }\approx \sqrt{2}\left((1-\beta ){\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-\frac{2}{\Psi }\right)+\beta {\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-\frac{2}{e\Psi }\right)\right)$$其中$\beta$为欧拉常数，代入平均增益表达式有：$$\begin{array}{rl}{G}_{\bar{R}}\approx & 1+\frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }}\times \left((1-\beta ){\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-\frac{2}{\Psi }\right)+\beta {\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-\frac{2}{e\Psi }\right)\right)\end{array}$$

无穷大系统近似形式及增长规律

由于$erf$函数有如下规律：$${\mathrm{erf}}^{-1}(x)=\sqrt{-\ln \left(1-x^2\right)}\text{ as }x\to 1$$
则平均增益函数可化简为：$$\begin{array}{rl}{G}_{\bar{R}}(\Psi )& \sim 1+\frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }}((1-\beta )\sqrt{-\ln (4)+\ln \left(\frac{{\Psi }^2}{\Psi -1}\right)}\\ & +\beta \sqrt{1-\ln (4)+\ln \left(\frac{{\Psi }^2}{\Psi -1/e}\right)})\\ & \sim \frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }}\sqrt{\ln (\Psi )}\end{array}$$可以看到当系统规模无限大时，平均增益有$G_{\bar{R}}(\Psi )=O(\sqrt{\ln (\Psi )})\text{as }\Psi \to \infty$，可以看出：当系统规模增至一定程度时，平均增益随模态数增速变缓。

中断吞吐量增益

对于准静态信道，应采用中断吞吐量作为性能指标，其定义如下：$$R_{\hat{\psi }}^{\text{out }}=\max R,\text{ s.t. }\mathbb{P}\left(R_{\hat{\psi }}<R\right)\le ϵ$$$$R_{\psi }^{\text{out }}=\max R,\text{ s.t. }\mathbb{P}\left(R_{\psi }<R\right)\le ϵ$$
中断增益定义为：$$G_{R^{\text{out }}}=R_{\hat{\psi }}^{\text{out }}/R_{\psi }^{\text{out }}$$

中断增益近似表达式

由于$$\mathbb{P}\left(R_{\psi }<R\right)=F_{R_{\psi }}(R)$$$$\mathbb{P}\left(R_{\hat{\psi }}<R\right)={\left(F_{R_{\psi }}(R)\right)}^{\Psi }$$，其中$F_{R_{\psi }}$与平均增益中相同，故而：$$R_{\hat{\psi }}^{\text{out }}\approx F_{R_{\psi }}^{-1}\left({ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)={\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-2{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)$$$$R_{\psi }^{\text{out }}\approx F_{R_{\psi }}^{-1}(ϵ)={\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)$$代入中断增益表达式有：$$G_{R^{\text{out }}}\approx \frac{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}\left(1-2{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}$$

无穷大系统近似形式及增长规律

当模态数$\Psi \to \infty$时，我们有$1-2{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\to -1$，且$${\mathrm{erf}}^{-1}(x)=-\sqrt{-\ln \left(1-x^2\right)}\text{ as }x\to -1$$，故而有如下近似：$$\begin{array}{rl}{G}_{R^{\text{out }}}(\Psi )\sim & \frac{{\bar{R}}_{\psi }}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}\\ & +\frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}\\ & \times \sqrt{-\ln \left(1-{\left(1-2{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)}^2\right)}\\ & \sim \frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}\sqrt{-\ln \left(1-{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)}\\ & \stackrel{(a)}{\sim }\frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}\sqrt{\ln (\Psi )},\end{array}$$其中$(a)$由$\sqrt{-\ln \left(1-{ϵ}^{\frac{1}{\Psi }}\right)}$的泰勒展开得到，所以：$$G_{R^{\text{out }}}(\Psi )\sim \frac{\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}}{{\bar{R}}_{\psi }-\sqrt{2{\sigma }_{R_{\psi }}^2}{\mathrm{erf}}^{-1}(1-2ϵ)}\sqrt{\ln (\Psi )}$$可以看到，中断增益同样有$G_{R^{\text{out }}}(\Psi )=O(\sqrt{\ln (\Psi )})\text{ as }\Psi \to \infty$，即当系统规模增至一定程度时，平均增益随模态数增速变缓。同时可以看出，当系统规模无穷大时，平均增益与中断增益有相同的增长模式。

throughput gain性能仿真

system setup

信道增益

信道复增益服从复高斯分布：${\alpha }_{\psi ,i,l}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\sigma }_{\alpha ,\psi ,i}^2\right)$，其中${\sigma }_{\alpha ,\psi ,i}^2$代表第$i$个簇的平均功率，且${\sum }_{i=1}^{N_{\psi ,c}}{\sigma }_{\alpha ,\psi ,i}^2={\gamma }_{\psi }$，其中${\gamma }_{\psi }$是使信道满足$\mathbb{E}\left\{{\Vert {\mathbf{H}}_{\psi }\Vert }_F^2\right\}=N_r{N}_t$的归一化系数。

角度

同一簇中：${\theta }_{\psi ,i,l}^r$满足均值为${\theta }_{\psi ,i}^r$，范围为${\sigma }_{{\theta }^r}$的均匀分布，发端同理。
对簇的中心角度，以收端为例，${\theta }_{\psi ,i}^r$服从$[-\pi /2,\pi /2]$上的均匀分布。

系统参数

$N_r=N_t=17,L_r=L_t=5,N_{\psi ,\mathrm{c}\mathrm{l}}=10,N_{\psi ,\mathrm{r}\mathrm{y}}=8,{\sigma }_{{\theta }^r}={\sigma }_{{\theta }^t}=3^{\circ },\text{ and }d/\lambda =1/2$，实验重复次数5000次。该簇数及射线数基于对60GHz的毫米波测量结果。

仿真结果

该论文在增益问题的仿真阶段关注如下几个结果：

1. 将$R_{\psi }$估计为高斯分布的有效性（准确性）；
2. 平均增益随模态数增长趋势图及各种情况下近似解的拟合情况；
3. 中断增益在不同中断概率下随模态数的增长趋势图及近似解拟合效果；

将$R_{\psi }$估计为高斯分布的有效性

可以看出将$R_{\psi }$建模为高斯过程在各个情况拟合程度都较好。

平均增益随模态数增长趋势图及各种情况下近似解的拟合情况

中断增益在不同中断概率下随模态数的增长趋势图及近似解拟合效果

该图需要注意的是，$ϵ$变小时，$G_{R^{out}}$变大，表明在中断要求变得严格时，可重构带来的吞吐量增益更加明显。