LMI（线性矩阵不等式）、schur补学习笔记

本文主要是介绍LMI（线性矩阵不等式）、schur补学习笔记，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1.掌握求解LMI的目的（以及整套流程）

掌握matlab中LMI工具箱的函数使用

2.掌握schurs补

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一.掌握求解LMI的目的（以及整套流程）

掌握matlab中LMI工具箱的函数使用

1.首先初始化

setlmis([])      %注意这只是定义了一个矩阵不等式系统，并没有定义矩阵

2.定义矩阵变量

limvar（在LMI问题中指定矩阵变量）函数，函数格式
X = lmivar(type,struct)

type为矩阵格式

type = 1 为对角块对称矩阵格式，每个对角块都是全矩阵（任意对称矩阵），标量（单位矩阵的倍数）或相同的零。

type = 2 为m*n任意矩阵格 struct =[m n]

struct定义对角块矩阵的格式，

如有r个对角块，struct就是r x 2为的矩阵。
eg：X0 = limvar(1,[2 1;1 0]) ，[2 1]表示2x2的满阵，[1 0]表示1x1的标量

参考：https://blog.csdn.net/weixin_44051006/article/details/99754816

3.定义矩阵不等式

lmiterm([第几个不等式矩阵 行坐标 列坐标 要求的未知矩阵] , 左乘矩阵，右乘矩阵，'s'是否对称转置);

注意：

所有的工具箱中始终以‘<’ 小于号来计算lmiterm项（不是用‘>’ 大于号来计算）

小于号左边标记为正号，小于号右边为负号

eg1.1.

S>I 在工具箱中的表示代码为:

（要将大于号换成小于号，即表示为I<S）

lmiterm([3,1,1,0],1)%为正3

lmiterm([-3,1,1,S],1,1)%为负3

eg1.2.

4.实战写代码

eg.1：

出个题，按照下面给出的参数，在matlab中用工具箱搭建出相对应的代码

（先自己思考，再看答案掌握更加深刻）

其中：alpha=0.2;

beta=sqrt(alpha*(1-delta));

答案：（下面附上本例子的代码。）

function [Q1,K]=LMI_learning0()
clc;
close all;
clear all;
%{
程序功能：求解LMI可行解
2022.2.17
%}%% 参数初始化
rho=0.9;
delta=0.0526;
alpha=0.2;
beta=sqrt(alpha*(1-delta));
A=[-1 3.5;-0.8 -0.5];
B=[-1 1;2 -1];
C=[1 -1;1 -1];
D=[-0.12 0.2;0.1 -0.1];
E=[-0.21 2.5;0.2 -0.3];
t=1;
Ft=diag([sin(t),cos(t)]);%对角矩阵M1=D*Ft*E;
M2=B-D*Ft*Eu=alpha*(1-delta)
v=-beta*(1-beta)
w=(1-alpha)*(1-delta)
%% 描述矩阵不等式
%初始化LMI
setlmis([]);%定义变量
n=2;
Q1=lmivar(1,[n,1]);%1表示为对角矩阵  [2，1]表示二阶满块矩阵
K=lmivar(1,[n,1]);%逐个描述矩阵中每一个单元
lmiterm([1,1,1,Q1],-1,1)
%第（一行二列）的0矩阵不需要写就是0矩阵
lmiterm([1,1,3,0],A')%第（一行三列）的加法要分开算
%0表示外部变量
lmiterm([1,1,3,-K],u,M1')%-K表示转置
lmiterm([1,1,4,-K],v,M1')
lmiterm([1,2,2,0],-1)%表示单位矩阵I
lmiterm([1,2,3,-K],w,M2')
lmiterm([1,2,4,-K],-v,M2')
lmiterm([1,3,3,inv(Q1)],-1,1)
lmiterm([1,4,4,inv(Q1)],-1,1)%另外两个矩阵表示Q1>0,K>0，（即为正定矩阵）
%也即0<Q1 , 0<K
lmiterm([-2,1,1,Q1],1,1)
lmiterm([-3,1,1,K],1,1)lmisys=getlmis;%获取LMI信息%% 求解LMI
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);%用feasp求解器求解if(tmin<0)%小于0才有解disp('feasible!!!!!!!!!!!!!');Q1=dec2mat(lmisys,xfeas,Q1);%将Q1转换成可以识别的mat类型K=dec2mat(lmisys,xfeas,K);
elseQ1=nan;K=nan;
endend

参考：鲁棒控制理论（一）LMI矩阵不等式 - 知乎

鲁棒控制理论（二）LMI矩阵不等式工具箱 - 知乎

Matlab和控制理论（八）线性矩阵不等式LMI工具箱的使用_哔哩哔哩_bilibili

eg2.

主要看代码中的注释即可

Je=0.9145;
Jp=0.0364;
Kf=0.1188;
La=0.66;
Lh=0.178;A=[0 0 1 0;0 0 0 1; 0 0 0 0;0 0 0 0];B=[0 0;0 0; (Kf*La)/Je (Kf*La)/Je;(Kf*Lh)/Jp -(Kf*Lh)/Jp];C=[1 0 0 0;0 1 0 0];N=[C;C*A];
M=[B A*B];n=rank(N)
m=rank(M)alpha=-10;
r=5;setlmis([])
P=lmivar(1,[4 1]);%P为4*4
W=lmivar(2,[4 2]);%W为4*2
%% 
lmiterm( [1 1 1 P],1,A,'s');%PA+A.T*P
lmiterm( [1 1 1 W],-1,C,'s');%-WC-C.T*W.T
%{
矩阵为
[PA+A.T*P-WC-C.T*W.T<0
]
%}lmiterm([ 2 1 1 P] , -1, 1);%-P
lmiterm([ 2 1 2 P] , 1, A);%PA
lmiterm([ 2 1 2 W] , -1, C);%-WC
lmiterm([ 2 1 2 P] , -alpha, 1);%-alpha*P
lmiterm([ 2 2 2 P] , -r^2, 1);%-r^2*P%{
矩阵为
[-P , PA-WC--alpha*P;       <00  , -r^2*P
]
%}
%%
lmisys=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);
P=dec2mat(lmisys,xfeas,P);
W=dec2mat(lmisys,xfeas,W);
L=pinv(P)*W