zcmu 1549: 组合数（卢卡斯定理）

题目链接：https://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1549

题目大意

给你n,m,p,要你求组合数C(n, m)%p

范围：(1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, 0< p <100 , p是素数)

思路

n和m范围很大，直接求C会t，但是这里模数p很小，那么可以从p下手。

C(n, m) = n! * (n - m)! % p * m! % p

应用一下 卢卡斯定理：对于非负整数m，n和质数p

,其中是m和n的p进制展开

当n<m的时候，规定

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 105;
ll fac[maxn], inv[maxn], p;
// fac[i]表示i的阶乘对p取模
// inv[i]表示i的阶乘的逆元对p取模
void init(ll n){fac[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;inv[n] = _pow(fac[n], p - 2);for(int i = n - 1; i >= 0; i --) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;
}
ll C(ll n, ll m){if(n < m) return 0;return fac[n] * inv[m] % p * inv[n - m] % p;
}
ll lucas(ll n, ll m){//卢卡斯定理if(m == 0) return 1 % p;return lucas(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p;
}
ll _pow(ll a, ll b){ll ans = 1;while(b){if(b & 1) ans = ans * a % p;a = a * a % p;b >>= 1;}return ans;
}
int main(){int t; scanf("%d", &t);while(t --){ll n, m;scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);init(p - 1);printf("%lld\n", lucas(n, m));}return 0;
}