21-高斯混合模型-GMM(Gaussian Mixture Model)

本文主要是介绍21-高斯混合模型-GMM(Gaussian Mixture Model)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1.高斯混合模型GMM的定义

高斯混合模型中的高斯就是指的是高斯分布，顾名思义，就是多个高斯分布组成的混合模型。由中心极限定理可得，把数据看作成高斯分布是比较合理的做法。高斯混合模型的产生是因为数据在非常复杂的情况下，我们无法通过单个高斯模型进行拟合，只能够通过通过多个高斯进行不同权重的拟合才行。这样就产生了高斯混合模型

1.1高斯混合模型GMM的几何表示

从几何角度来看是比较简单的，当数据由高斯分布N1和高斯分布N2组成的，那么高斯分布N3可以看作是两个高斯分布加权平均来组成的。
$$P(x)=\sum _{k=1}^K{\alpha }_{k}N({\mu }_k,{\Sigma }_k),\sum _{k=1}^K{\alpha }_k=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

• ${\alpha }_k:表示每个高斯分布在整个高斯分布的权重$

1.2高斯混合模型GMM的模型表示

我们知道当数据两维以上时，那么数据的概率密度函数就是一个高斯曲面，无法用曲线表示，所以我们只能用等高线来表示相关数据。那么对于下图来说，样本$X_k$既属于N1，也属于N2,只是我们看起来属于N1的概率更大。

我们定义样本数据如下：

• X:observed data 观测数据；

• Z:latent data 隐变量数据;表示对应的样本X是属于哪一个高斯分布的；
  我们引入的Z是为了表示数据X属于哪一个分布，所以可知Z是离散型随机变量。且假设Z满足如下分布：
  

• ${\sum }_{k=1}^K{P}_k=1$
  那么对于样本数据X来说，我们可以引入一个变量Z，那么数据生成可以用两步来表示：

• 用Z分布来表示该样本属于哪一个高斯分布$C_k$

• 当选定了第$C_k$高斯分布后，再在高斯分布中采样数据X；
  具体形象描述为：
  假设我们有一个骰子，这个骰子的K个面被不同比例的油漆涂上，我们随机投掷骰子，那么我们就有K个高斯分布，我们每次投一个骰子时，就会出现第K个面，然后我们在第K个面中采样数据X。这样就可以通过两个步骤来进行合成数据X；这个过程重复N次就是高斯混合模型的生成方式。

• 概率图：
  

• 参数P用实心点表示

2.高斯混合模型的极大似然估计

2.1 数据样本的定义

为了方便后续的表示，我们定义如下参数：

• X:observed data 观测数据 $X=(x_1,x_2,...,x_N)$
• Z:latent data 隐变量 $Z=(z_1,z_2,...,z_N)$
• (X,Z)：complete data 完整数据 ( X , Z ) = { ( x 1 , z 1 ) , ( x 2 , z 2 ) , . . . , ( x N , z N ) , } (X,Z)=\{(x_1,z_1),(x_2,z_2),...,(x_N,z_N),\} (X,Z)={(x1​,z1​),(x2​,z2​),...,(xN​,zN​),}
• θ : p a r a m e t e r 参 数 : θ = { P 1 , P 2 , . . . , P k , μ 1 , μ 2 , . . . , μ k , Σ 1 , Σ 2 , . . . , Σ k } \theta:parameter 参数:\theta=\{P_1,P_2,...,P_k,\mu_1,\mu_2,...,\mu_k,\Sigma_1,\Sigma_2,...,\Sigma_k\} θ:parameter参数:θ={P1​,P2​,...,Pk​,μ1​,μ2​,...,μk​,Σ1​,Σ2​,...,Σk​}

对于已知数据X，为了搞清楚高斯混合模型的相关参数，我们首先想到的是极大似然估计法MLE。我们的目标是为了找到一组参数$\theta$，使得参数$\theta$能够让$\log P(X|\theta )$取得最大值；
$$\hat{\theta }=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\log P(X|\theta )\text{\hspace{1em}(2)}$$
由边缘概率P(X)和联合概率P(X,Z)的关系可得：

$$P(X)=\sum _{Z}P(X,Z)=\sum _{k=1}^{K}P(X,Z=C_k)=\sum _{k=1}^{K}P(Z=C_k)\cdot P(X|Z=C_k)\text{\hspace{1em}(3)}$$

• $Z是满足离散概率分布，即：P(Z=C_k)=P_k$
• $P(X|Z=C_k)满足高斯分布，即：P(X|Z=C_k)=N(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)$
  $$P(X)=\sum _{k=1}^K{P}_k\cdot N(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)\text{\hspace{1em}(4)}$$
  所以目标函数可以表示如下：
  $${\hat{\theta }}_{MLE}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\log P(X|\theta )=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\log \prod _{i=1}^{N}P(x_i|\theta )=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log P(x_i|\theta )\text{\hspace{1em}(5)}$$
  $${\hat{\theta }}_{MLE}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log [\sum _{k=1}^K{P}_k\cdot N(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)]\text{\hspace{1em}(6)}$$
• θ : p a r a m e t e r 参 数 : θ = { P 1 , P 2 , . . . , P k , μ 1 , μ 2 , . . . , μ k , Σ 1 , Σ 2 , . . . , Σ k } \theta:parameter 参数:\theta=\{P_1,P_2,...,P_k,\mu_1,\mu_2,...,\mu_k,\Sigma_1,\Sigma_2,...,\Sigma_k\} θ:parameter参数:θ={P1​,P2​,...,Pk​,μ1​,μ2​,...,μk​,Σ1​,Σ2​,...,Σk​}

之前我们在求高斯分布的极大似然估计的时候，因为单个的高斯分布概率密度函数是：
$$\log P(x_i|\theta )=\log [\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot ex{p}^{(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})}]\text{\hspace{1em}(7)}$$
由上式可以看出，当我们使用对数函数时，因为单个高斯分布里面是一个乘积的形式，那么我们取对数后可以变成两个式子的和，所以可以把上述公式进行分割求导，简化运算。但是对于高斯混合模型来说公式<6>，发现属于如下求和形式：
$${\hat{\theta }}_{MLE}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log [{△}_1+{△}_2,...,{△}_N]\text{\hspace{1em}(8)}$$
那么就无法进行分割上述公式，所以我们直接对高斯混合模型来说，直接用极大似然估计是行不通的，没法进行下去了。为了解决这个问题，我们引入之前的EM期望最大算法来求解高斯混合模型GMM。EM算法的目的不就是为了求期望最大嘛，所以这里用EM算法就情理之中了。

3.高斯混合模型GMM(EM期望最大算法求解)

3.1 EM算法(E-Step)

我们发现用极大似然估计法无法求得数据X的参数$\theta$，所以我们用之前讲解的EM期望最大算法进行迭代求解参数$\theta$：
EM算法公式如下：
θ ( t + 1 ) = arg ⁡ max ⁡ θ E Z ∼ { Z ∣ X , θ ( t ) } log ⁡ P ( X , Z ∣ θ ) (9) \theta^{(t+1)}=\mathop{\arg\max}\limits_{\theta}\mathbb{E}_{Z\sim \{Z|X,\theta^{(t)}\}}\log P(X,Z|\theta)\tag{9} θ(t+1)=θargmax​EZ∼{Z∣X,θ(t)}​logP(X,Z∣θ)(9)

• 我 们 定 义 ： Q ( θ , θ ( t ) ) = E Z ∼ { Z ∣ X , θ ( t ) } log ⁡ P ( X , Z ∣ θ ) 我们定义：Q(\theta,\theta^{(t)})=\mathbb{E}_{Z\sim \{Z|X,\theta^{(t)}\}}\log P(X,Z|\theta) 我们定义：Q(θ,θ(t))=EZ∼{Z∣X,θ(t)}​logP(X,Z∣θ)

首先我们对$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})$进行展开表达：

Q ( θ , θ ( t ) ) = E Z ∼ { Z ∣ X , θ ( t ) } log ⁡ P ( X , Z ∣ θ ) Q(\theta,\theta^{(t)})=\mathbb{E}_{Z\sim \{Z|X,\theta^{(t)}\}}\log P(X,Z|\theta) Q(θ,θ(t))=EZ∼{Z∣X,θ(t)}​logP(X,Z∣θ)

将期望转换成积分形式可得：

$={\int }_Z\log P(X,Z|\theta )\cdot P(Z|X,{\theta }^{(t)})dZ$

由于数据X之间是独立同分布的，所以可变成如下：

$={\int }_Z\log {\prod }_{i=1}^{N}P(x_i,z_i|\theta )\cdot {\prod }_{i=1}^{N}P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})dZ$

展开后可得：

$={\int }_Z[\log P(x_1,z_1|\theta )+..+\log P(x_i,z_i|\theta )]\cdot {\prod }_{i=1}^{N}P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})dZ$

为了简化上述公式，我们首先对其中一项式子进行简化：

${\int }_Z[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot {\prod }_{i=1}^{N}P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})dZ$

将Z分解成$Z_1,Z_2,...,Z_N$

${\int }_{Z_1,Z_2,...,Z_N}[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot {\prod }_{i=1}^{N}P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})dZ$

$={\int }_{Z_1}[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot P(z_1|x_1,{\theta }^{(t)})d{Z}_1\cdot \underset{=1}{\underbrace{{\int }_{Z_2}P(z_2|x_2,{\theta }^{(t)})d{Z}_2}}\cdot ...\underset{=1}{\underbrace{{\int }_{Z_N}P(z_N|x_N,{\theta }^{(t)})d{Z}_N}}$

$={\int }_{Z_1}[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot P(z_1|x_1,{\theta }^{(t)})d{Z}_1$

因为Z为离散型变量，故积分可转换成如下：

$={\sum }_{Z_1}[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot P(z_1|x_1,{\theta }^{(t)})$

所以：

$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})={\sum }_{Z_1}[\log P(x_1,z_1|\theta )]\cdot P(z_1|x_1,{\theta }^{(t)})+...+{\sum }_{Z_N}[\log P(x_N,z_N|\theta )]\cdot P(z_N|x_N,{\theta }^{(t)})$

整理上式公式可得：

$$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})=\sum _{i=1}^N\sum _{Z_i}[\log P(x_i,z_i|\theta )]\cdot P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(10)}$$

那么我们接下来的步骤是将高斯混合模型嵌入到上式EM算法中。即将上述公式的$\log P(x_i,z_i|\theta )和P(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})$用高斯混合模型的相关概率进行表示即可

3.2 EM算法(E-Step-高斯混合模型代入)

对于高斯混合模型来说：我们定义如下参数：

• X:observed data 观测数据 $X=(x_1,x_2,...,x_N)$
• Z:latent data 隐变量 $Z=(z_1,z_2,...,z_N)$
• (X,Z)：complete data 完整数据 ( X , Z ) = { ( x 1 , z 1 ) , ( x 2 , z 2 ) , . . . , ( x N , z N ) , } (X,Z)=\{(x_1,z_1),(x_2,z_2),...,(x_N,z_N),\} (X,Z)={(x1​,z1​),(x2​,z2​),...,(xN​,zN​),}
• θ : p a r a m e t e r 参 数 : θ = { P 1 , P 2 , . . . , P k , μ 1 , μ 2 , . . . , μ k , Σ 1 , Σ 2 , . . . , Σ k } \theta:parameter 参数:\theta=\{P_1,P_2,...,P_k,\mu_1,\mu_2,...,\mu_k,\Sigma_1,\Sigma_2,...,\Sigma_k\} θ:parameter参数:θ={P1​,P2​,...,Pk​,μ1​,μ2​,...,μk​,Σ1​,Σ2​,...,Σk​}

我们在上面已经得出如下结论：
$$P(X)=\sum _{k=1}^K{P}_k\cdot N(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)\text{\hspace{1em}(11)}$$
又由于贝叶斯公式 { P ( X , Z ) = P ( Z ) ⋅ P ( X ∣ Z ) } \{P(X,Z)=P(Z)·P(X|Z)\} {P(X,Z)=P(Z)⋅P(X∣Z)}，且：$P(Z)=P_z;P(X|Z)=N(X|{\mu }_z,{\Sigma }_k)$故：
$$P(X,Z)=P_Z\cdot N(X|{\mu }_z,{\Sigma }_k)\text{\hspace{1em}(12)}$$
$因为贝叶斯公式可得：P(Z|X)=P(X,Z)/P(X)，代入上式可得：$
$$P(Z|X,{\theta }^{(t)})=\frac{P(X,Z,{\theta }^{(t)})}{P(X,{\theta }^{(t)})}=\cdot \frac{P_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}})}{{\sum }_{k=1}^K{P}_k^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_k^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_k^{{\theta }^{(t)}})}\text{\hspace{1em}(13)}$$
将此时算出来的$P(Z|X)和P(X,Z)代入到之前公式Q(\theta ,{\theta }^{(t)})中可得：$
$$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})=\sum _{i=1}^N\sum _{Z_i}\log [P_{Z_i}\cdot N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot \frac{P_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}})}{{\sum }_{k=1}^K{P}_k^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_k^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_k^{{\theta }^{(t)}})}\text{\hspace{1em}(14)}$$

3.2 EM算法(M-Step)

我们已经求得了EM算法中的E-Step 得到$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})$,现在只要求最大值即可：
θ ( t + 1 ) = arg ⁡ max ⁡ θ E Z ∼ { Z ∣ X , θ ( t ) } log ⁡ P ( X , Z ∣ θ ) = arg ⁡ max ⁡ θ Q ( θ , θ ( t ) ) (15) \theta^{(t+1)}=\mathop{\arg\max}\limits_{\theta}\mathbb{E}_{Z\sim \{Z|X,\theta^{(t)}\}}\log P(X,Z|\theta)=\mathop{\arg\max}\limits_{\theta}Q(\theta,\theta^{(t)})\tag{15} θ(t+1)=θargmax​EZ∼{Z∣X,θ(t)}​logP(X,Z∣θ)=θargmax​Q(θ,θ(t))(15)
整理上式可得：
$${\theta }^{(t+1)}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\sum _{Z_i}\log [P_{Z_i}\cdot N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot \underset{P(Z_i|X_i,{\theta }^{(t)})}{\underbrace{\frac{P_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_{Z_i}^{{\theta }^{(t)}})}{{\sum }_{k=1}^K{P}_k^{{\theta }^{(t)}}\cdot N(x_i|{\mu }_k^{{\theta }^{(t)}},{\Sigma }_k^{{\theta }^{(t)}})}}}\text{\hspace{1em}(16)}$$
$${\theta }^{(t+1)}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\sum _{Z_i}\log [P_{Z_i}\cdot N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot P(Z_i|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(17)}$$
求和符号交换位置
$$=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{Z_i}\sum _{i=1}^N\log [P_{Z_i}\cdot N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot P(Z_i|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(18)}$$
将${\sum }_{Z_i}分解$
$${\theta }^{(t+1)}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{k=1}^K\sum _{i=1}^N\log [P_k\cdot N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(19)}$$
$${\theta }^{(t+1)}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{k=1}^K\sum _{i=1}^N[\log P_k+\log N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)]\cdot P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(20)}$$
我们求解的方式是通过不断地迭代求解相关参数：
θ ( t + 1 ) = { P 1 ( t + 1 ) , P 2 ( t + 1 ) , . . . , P k ( t + 1 ) , μ 1 ( t + 1 ) , μ 2 ( t + 1 ) , . . . , μ k ( t + 1 ) , Σ 1 ( t + 1 ) , Σ 2 ( t + 1 ) , . . . , Σ k ( t + 1 ) } (21) \theta^{(t+1)}=\{P_1^{(t+1)},P_2^{(t+1)},...,P_k^{(t+1)},\mu_1^{(t+1)},\mu_2^{(t+1)},...,\mu_k^{(t+1)},\Sigma_1^{(t+1)},\Sigma_2^{(t+1)},...,\Sigma_k^{(t+1)}\}\tag{21} θ(t+1)={P1(t+1)​,P2(t+1)​,...,Pk(t+1)​,μ1(t+1)​,μ2(t+1)​,...,μk(t+1)​,Σ1(t+1)​,Σ2(t+1)​,...,Σk(t+1)​}(21)
对于公式(20)来说，当我们求解$P_k^{(t+1)}$时，我们可以把$\log N(x_i|{\mu }_z,{\Sigma }_k)$看作无关项，可以忽略它。
$$P_k^{(t+1)}=\underset{P_k}{\mathrm{argmax}}\sum _{k=1}^K\sum _{i=1}^N[\log P_k]\cdot P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(22)}$$
$$s.t：\sum _{k=1}^K{P}_k=1\text{\hspace{1em}(22)}$$
将上述带约束的最值问题转换成拉格朗日函数：
$$P(L,\lambda )=\sum _{k=1}^K\sum _{i=1}^N[\log P_k]\cdot P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})+\lambda (\sum _{k=1}^K{P}_k-1)\text{\hspace{1em}(23)}$$
$$\frac{\partial P(L,\lambda )}{\partial P_k}=\sum _{i=1}^N\frac{1}{P_k}\cdot P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})+\lambda =0\text{\hspace{1em}(24)}$$
$$\sum _{i=1}^{N}P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})+\lambda P_k=0\text{\hspace{1em}(25)}$$
将 k=1,2,…K组成的等式进行求和可得：
$$\sum _{i=1}^N\underset{=1}{\underbrace{\sum _{i=1}^{K}P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})}}+\lambda \underset{=1}{\underbrace{\sum _{i=1}^K{P}_k}}=0\text{\hspace{1em}(26)}$$
$$N+\lambda =0\to \lambda =-N\text{\hspace{1em}(27)}$$
将求得的$\lambda$代入到公式25中可得：
$$\sum _{i=1}^{N}P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})-N{P}_k=0\text{\hspace{1em}(28)}$$
$$P_k^{(t+1)}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}P(Z_i=C_k|X_i,{\theta }^{(t)})\text{\hspace{1em}(29)}$$
所以我们能估算参数：
P k ( t + 1 ) = { P 1 ( t + 1 ) , P 2 ( t + 1 ) , . . . , P K ( t + 1 ) } (30) P_k^{(t+1)}=\{P_1^{(t+1)},P_2^{(t+1)},...,P_K^{(t+1)}\}\tag{30} Pk(t+1)​={P1(t+1)​,P2(t+1)​,...,PK(t+1)​}(30)
同理，我们只需要按照上述方式即可求得其他参数的估计值；后面再补充吧。

这篇关于21-高斯混合模型-GMM(Gaussian Mixture Model)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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