OpenSSL密码库算法笔记——第5.4.2章 椭圆曲线上点的射影坐标表示

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射影坐标又分成好几种——标准射影坐标、Jacobi射影坐标、Chudnovsky射影坐标。

在标准射影坐标中，射影点(x, y, z)，z≠0，对应仿射点(x/z, y/z)，椭圆曲线的射影方程为y2z＝x3＋axz＋bz2。在Jacobi射影坐标中，射影点(x, y, z)，z≠0，对应仿射点(x/z2, y/z3)，椭圆曲线的射影方程为y2＝x3＋axz4＋bz6。在Chudnovsky射影坐标中，射影点(x, y, z)，z≠0，对应仿射点(x, y, z, z2, z3)。

在射影坐标系下做点的加法不需要做逆运算，只需要先将仿射点转化成射影点，在做完点的所有运算之后再转化为仿射点。

一般情况下都会选择使用Jacobi射影坐标系，因为在该坐标系下做点的加法和二倍点时效率都比较高（参见§5.4.2），而且也为人们所熟悉。在实现代码中选择的就是Jacobi射影坐标系，对点的定义包括了X、Y、Z坐标。如果要想将这个Jacobi射影点(X, Y, Z)化成仿射点，只需要将Z化为1即可得到对应仿射点X ← X/Z2，Y ← Y/Z3，Z ← 1。

现在回过头再来看看代码中对点的定义就更加清楚了。

typedef struct ec_point_st EC_POINT;

struct ec_point_st {

        const EC_METHOD *meth;

        BIGNUM X;

        BIGNUM Y;

        BIGNUM Z;

        int Z_is_one;

} /* EC_POINT */;

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