[bzoj 3224] Tyvj 1728 普通平衡树（Splay）

本文主要是介绍[bzoj 3224] Tyvj 1728 普通平衡树（Splay），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题意：维护一些数，支持这些操作：插入x、删除x、查询x的排名（多个x则输出最小者）、查询排名为x的数、查询小于x的最大数、查询大于x的最小数。初始序列为空，操作数不超过10^5，每个数的数据范围：[-1e7,1e7]。

写一棵普通的平衡树就好了。由于是想练习一下Splay Tree，就决定是它了。

以前用指针写lct，非常难以调试，解决方案是用map把指针映射成数再输出……自此以后就改用数组了。用结构体数组，意味着要不停地打点加方括号，干脆不用结构体了，直接数组代码看起来清爽多了。

旋转rot(x, d)以根和被提上来的儿子方向作为参数。type(x)用于获知结点x是左儿子还是右儿子。

splay(x, p)操作写成了循环，所以得记父结点。为了避免忘记这一点，把设置父子关系写成了set(x, d, y)函数。

find(c, b)操作找小于某数的最大数或大于某数的最小数，并伸展成为根，用一个参数b指明前者还是后者。以前者为例，当前结点小于c，用当前结点更新答案，向右子树走；否则，向左子树走。走到空结点nil停止。有一个纠结的地方：到达的最深结点y可能不是要求被伸展成为根的结点z，此时怎样调整树的结构？后面再说。为了便于处理不存在这样的数的情况，加两个虚拟结点-inf和inf。

insert(c)插入一个c。先用find找到小于c的最大结点并伸展为根，设它为l，r是l的右儿子，断开l, r，使它们成为新结点的左右儿子，并设新结点为根即可。别忘了用up(x)更新子树大小的信息。new_node(c)用于生成一个新结点，它的值为c，左右子树为空，大小为1。

erase(c)删除一个c。先用find找到小于c的最大结点并伸展为根，设它为l，r是l的右儿子，找到r树中最小的结点r’，r’便是待删除的结点。splay(r', l)，再把r’的右子树接到l的右子树的位置即可。

rank(c)查询c的最小排名。x=find(c, 0)，返回小于c的数的个数+1=(x的左子树大小+1-1)+1=x的左子树大小+1。别忘了虚拟结点-inf。

kth(k)查询第k小的数。首先++k，然后在树上二分即可。

前驱predecessor(c)和后继successor(c)有了find就很简单了。查询，返回该结点的值即可。

一开始，find操作中我把y和z都splay一下，636ms。只splay(z)是552ms。

写完之后发觉我的做法好像不太主流……又因为对其复杂度的分析不是很理解，浏览了一下Sleator和Tarjan的原始论文《Self-adjusting binary search trees》。

关于splay的复杂度。首先，直接放缩成2(r’(x)-r(x))+2是不可行的，因为有常数2。一旦累加起来它就不是常数了，不可忽略；2(r’(x)-r(x))+2 ≤ 3(r’(x)-r(x))要求r’(x)-r(x)≥2，不一定能达成。是说为什么按照我的理解，把论证中的对数函数换成一切非负的增函数都可以……其二，使用O((m+n)lg n+m)而非O(m lg n+m)，能使复杂度对于一切初始情况皆成立；《算法导论》上说，任何时刻的势不小于初始的势，均摊时间才是实际时间的上界，有时的确无法满足这个条件，也无妨，把势能的减少量考虑进来即可。

关于insert和erase操作的实现。论文中说：“It is convenient to implement insert and delete using join and split.”又说：“There are alternative implementations of insert and delete that have slightly better amortized time bounds.”前者与我的方法等价，后者是这样的：

插入直接找待插入的位置，将新结点伸展为根。时间和方法一差不多。

删除直接找待删除的结点，合并左右子树，替换掉它，把它的父亲伸展到根。方法一进行两三次splay，提到根或根的儿子处；从根的儿子开始go left一次。方法二进行两次splay，一次提到根，一次提到某结点；从某结点开始go left一次。虽然splay会带来奇奇怪怪的效果……但是后一种感觉上常数就小一些。

但是牺牲一点时间换代码简单也不是特别不划算……

灵机一动，find里，若y和z不等，就splay(y, z)再splay(z)。这样处理似乎很科学，复杂度的分析仍然适用（Tarjan他们的access/split操作不存在这样的问题，主要是因为需求不同）。572ms。

用class进行了一些封装，看起来很清爽。

#include <cstdio>
#include <cctype>
const int MAX_N = 1e5, inf = 1<<30;class Splay {static const int n = MAX_N+4, nil = n-1;int fa[n], ch[n][2], v[n], sz[n], ptr, &root;void set(int x, int d, int y) { fa[ch[x][d] = y] = x; }void up(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + 1; }int type(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }int new_node(int c){ch[ptr][0] = ch[ptr][1] = nil;v[ptr] = c;sz[ptr] = 1;return ptr++;}int rot(int x, int d){int y = ch[x][d];set(fa[x], type(x), y);set(x, d, ch[y][d^1]);set(y, d^1, x);up(x);up(y);}void splay(int x, int p=0){int y;while ((y = fa[x]) != p) {int z = fa[y], t1 = type(x);if (z != p) {int t2 = type(y);if (t1 == t2)rot(z, t2), rot(y, t1);elserot(y, t1), rot(z, t2);} elserot(y, t1);}}int find(int c, int b=0){int x = root, y, z;while (x != nil) {y = x;if (v[x] != c && v[x] > c == b) {z = x;x = ch[x][b^1];} elsex = ch[x][b];}if (y != z)splay(y, z);splay(z);return z;}public:Splay(): ptr(1), root(ch[0][0]){sz[nil] = 0;set(0, 0, new_node(-inf));set(1, 1, new_node(inf));up(1);}void insert(int c){int l = find(c), r = ch[l][1], x = new_node(c);ch[l][1] = nil;set(0, 0, x);set(x, 0, l);set(x, 1, r);up(l);up(x);}void erase(int c){int l = find(c), r = ch[l][1];while (ch[r][0] != nil)r = ch[r][0];splay(r, l);set(l, 1, ch[r][1]);up(l);}int predecessor(int c){return v[find(c)];}int successor(int c){return v[find(c, 1)];}int rank(int c){return sz[ch[find(c)][0]] + 1;}int kth(int k){++k;int x = root;while (x != nil) {int s = sz[ch[x][0]];if (s+1 == k)return splay(x), v[x];if (s >= k)x = ch[x][0];elsek -= s+1, x = ch[x][1];}}
} T;template<typename t>
inline void read(t& x)
{char c = getchar();int sgn = 1;x = 0;while (!isdigit(c)) {sgn = c == '-' ? -1 : 1;c = getchar();}while (isdigit(c)) {x = x*10 + c - '0';c = getchar();}x *= sgn;
}int main()
{int n;read(n);while (n--) {int opt, x;read(opt), read(x);switch (opt) {case 1:T.insert(x); break;case 2:T.erase(x); break;case 3:printf("%d\n", T.rank(x)); break;case 4:printf("%d\n", T.kth(x)); break;case 5:printf("%d\n", T.predecessor(x)); break;case 6:printf("%d\n", T.successor(x));}}return 0;
}