几种数学公式(环排列 母函数 唯一分解定理 卡特兰数 默慈金数 贝尔数 那罗延数)

一：环排列

把一个m个元素的环在m个不同的位置拆开记得到m个不同的线排列。由于n个不同元素中任取m个元素的排列方法为P(n,m)种，所以n个不同元素中任取m个元素的环排列方法有P(n,m)/m种。(p是排列组合中的A)
特别的，n个不同元素的环排列方法有P(n,n)/n=(n-1)！种。

二：母函数（用来解决：有N种重量的物品，每种物品有M个(1-无穷),求可以组合出来的重量的个数和该重量的方案数。）

题意：火星上的货币有1,4,9,16,25.....17^2这17中面值的硬币，问任意给定一个不大于300的正整数面额，用这些硬币来组成此面额总共有多少种组合种数。

2
10
30
0

Sample Output

1
4
27

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 300 + 10;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
int main()
{int n;while(cin >> n && n){for(int i = 0; i <= 300; i++) // 初始化{a[i] = 1; // 模拟第一个括号，各项的系数为1b[i] = 0; // 中间数组}for(int i = 2; i <= 17; ++i) // 外层括号数{for(int j = 0; j <= n; ++j) // 因为没有限制硬币的数量，每步新形成的括号，{for(int k = 0; k + j <= n; k += i * i) 增量。{b[k + j] += a[j];}}for(int j = 0; j <= n; ++j) // 因为{ a[j] = b[j];b[j] = 0;}}cout << a[n] << endl;}return 0;
}

三：唯一分解定理

<1>容斥原理 

容斥原理中经常用到的有如下两个公式：

1.两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。

2.三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C。

需要注意的是，以上两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。

<2>抽屉原理

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

四：卡特兰数

实际上就是出栈序列的种数

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式:

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为:

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为:

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

eg:

As we all know the Train Problem I, the boss of the Ignatius Train Station want to know if all the trains come in strict-increasing order, how many orders that all the trains can get out of the railway.

Input

The input contains several test cases. Each test cases consists of a number N(1<=N<=100). The input is terminated by the end of file.

Output

For each test case, you should output how many ways that all the trains can get out of the railway.

Sample Input

1
2
3
10

Sample Output

1
2
5
16796
Hint
The result will be very large, so you may not process it by 32-bit integers.

//h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[105][100];
void f()
{ll i,j,yu,len;a[2][0]=1;a[2][1]=2;a[1][0]=1;a[1][1]=1;len=1;for(i=3;i<101;i++){yu=0;for(j=1;j<=len;j++){ll t=(a[i-1][j])*(4*i-2)+yu;yu=t/10;a[i][j]=t%10;}while(yu){a[i][++len]=yu%10;yu/=10;}for(j=len;j>=1;j--){ll t=a[i][j]+yu*10;a[i][j]=t/(i+1);yu = t%(i+1);}while(!a[i][len])len--;a[i][0]=len;}}
int main()
{f();ll n,i;while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(i=a[n][0];i>0;i--)printf("%lld",a[n][i]);puts("");}return 0;
}

再来一个例题

As we all know the Train Problem I, the boss of the Ignatius Train Station want to know if all the trains come in strict-increasing order, how many orders that all the trains can get out of the railway.

Input

The input contains several test cases. Each test cases consists of a number N(1<=N<=100). The input is terminated by the end of file.

Output

For each test case, you should output how many ways that all the trains can get out of the railway.

Sample Input

1
2
3
10

Sample Output

1
2
5
16796由于满足1 2 5 所以为卡特兰数  又因为数比较大  所以用java写    要学java  看这喽https://blog.csdn.net/zcy19990813/article/details/81173275            https://blog.csdn.net/zcy19990813/article/details/81173071

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String args[]) {Scanner cin=new Scanner(System.in);int n;while(cin.hasNext()) {n=cin.nextInt();BigInteger ans=BigInteger.valueOf(1);for(int i=1;i<=n;i++){ans=ans.multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2));ans=ans.divide(BigInteger.valueOf(i+1));}System.out.println(ans);}}
}

五：默慈金数   默慈金数是在数学中，一个给定的数n的默慈金数是“在一个圆上的n个点间，画出彼此不相交的弦的全部方法的总数”。

六  贝尔数

Bell数，又称为贝尔数。
B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。
B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5, 
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,..
递推公式为，
B(0) = 1,
B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,...
其中，Sum(0,n)表示对k从0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]

七  那罗延数

N(n,k) = 1/n * C(n,k) * C(n,k-1)

八  斯特林公式

公式为：   

 从图中看出，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：   

             或者        

eg:

输入N求N的阶乘的10进制表示的长度。例如6! = 720，长度为3。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 1000)
第2 - T + 1行：每行1个数N。（1 <= N <= 10^9)

Output

共T行，输出对应的阶乘的长度。

Sample Input

3
4
5
6

Sample Output

2
3
3

判断n的长度,就是log10(n)+1，将n！代入化简就可以啦

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 300 + 10;
#define pi 3.1415926535898
#define e 2.718281828459
typedef long long ll;
int main()
{ll t,n,ans;scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld",&n);ans=1/2.0*log10(2*pi*n)+n*log10(n)-n*log10(e)+1;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}